Регулярное семейство распределений

Регуля́рное семе́йство распределе́ний в математической статистике — это распределения, плотность которых дифференцируема относительно параметра.

Определение

Пусть дано параметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений $\{\mathbb {P} _{\theta }\}_{\theta \in \Theta }$, где $\Theta \subset \mathbb {R}$, так что $f(x\mid \theta )$ — плотность вероятности $\mathbb {P} _{\theta }$ для каждого $\theta \in \Theta$. Тогда это семейство называется регулярным, если ${\sqrt {f(x\mid \cdot )}}$ непрерывно дифференцируема относительно параметра $\theta \in \Theta$, то есть существует такое множество $D\subset \mathbb {R}$, что $\mathbb {P} _{\theta }(D)=1,\quad \forall \theta \in \Theta$, и

$\forall x\in {D},\quad {\sqrt {f(x\mid \cdot )}}\in C^{1}(\Theta )$.

Примеры

• Пусть $\Theta =\{\theta >0\}$, и $\mathbb {P} _{\theta }=\mathrm {Exp} (\theta )$ — экспоненциальное распределение с параметром $\theta$. Тогда

${\frac {\partial }{\partial \theta }}{\sqrt {f(x\mid \theta )}}=\left({\frac {1}{2{\sqrt {\theta }}}}-{\frac {{\sqrt {\theta }}x}{2}}\right)e^{-\theta x/2}\in C(\Theta ).$

Следовательно семейство распределений регулярно.

• Пусть $\Theta =\{\theta >0\}$, и $\mathbb {P} _{\theta }=\mathrm {U} [0,\theta ]$ — непрерывное равномерное распределение на отрезке $[0,\theta ]$. Тогда легко видеть, что $D\supset [0,\infty )$, и $f(x\mid \cdot )$ разрывна в точке $\theta =x$. Таким образом семейство распределений нерегулярно.

Применение

Условие регулярности распределения рассматривается при выводе неравенства Рао-Крамера.

Литература

• Боровков А.А., Математическая статистика, 4-е изд., СПб.: "Лань", 2010. (§ 26. Неравенство Рао-Крамера и R-эффективные оценки)