Риманова субмерсия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть (M,g) и (N,h) — римановы многообразия. Гладкое отображение f\colon(M,g)\to (N,h) называется римановой субмерсией, если для любой точки x есть изометрическое линейное вложение \imath_x\colon T_{f(x)}\to T_x такое, что \imath_x \circ d_xf есть ортогональная проекция, здесь d_xf обозначает дифференциал отображения f в точке x.

Для вектора X\in T_{f(x)} вектор \overline{X}=\imath_x(X) называется горизонтальным поднятием X.

Формула О’Нэйла[править | править исходный текст]

Пусть f\colon N\to M — риманова субмерсия. Тогда для любых векторных полей X, Y на M, значение тензора кривизны R_M можно вычислить используя формулу О’Нэйла

  • \langle R_M(X,Y)Y,X\rangle=\langle R_N(\overline{X},\overline{Y})\overline{Y},\overline{X}\rangle+\tfrac34\left|[\overline{X},\overline{Y}]^V\right|^2,
где \overline{X},\overline{Y} — горизонтальные поднятия полей X и Y соответственно, [\overline{X},\overline{Y}]^V — вертикальная составляющая скобки Ли векторных полей \overline{X},\overline{Y} на N.

Следствия[править | править исходный текст]

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]