Риманова субмерсия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть и  — римановы многообразия. Гладкое отображение называется римановой субмерсией, если для любой точки существует изометрическое линейное вложение такое, что есть ортогональная проекция. Здесь обозначает дифференциал отображения в точке .

Для вектора вектор называется горизонтальным поднятием .

Формула О’Нэйла[править | править вики-текст]

Пусть  — риманова субмерсия. Тогда для любых векторных полей , на , значение тензора кривизны можно вычислить, используя формулу О’Нэйла

,

где  — горизонтальные поднятия полей и соответственно,  — вертикальная составляющая скобки Ли векторных полей на .

Следствия[править | править вики-текст]

  • Абсолютная величина в точке зависит только от точки и значений и в точке .
  • Если тотальное пространство римановой субмерсии имеет секционную кривизну , то то же верно и для его базы.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]