Робастность в статистике

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск


Робастность (англ. robustness) в статистике — влияние на результат исследования различного рода выбросов.

Слово англ. robust переводится как «крепкий», «сильный», «твёрдый», применительно к статистике — «устойчивый» или «помехоустойчивый».

Статистика предоставляет несколько методов, направленных на выявление выбросов, снижение их влияния или исключение их из выборки.

На практике наличие в выборках даже небольшого числа резко выделяющихся наблюдений (выбросов) способно сильно повлиять на результат исследования. Примером могут служить метод наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия. Значения, получаемые в результате исследования, могут перестать нести в себе какой-либо смысл. Для того чтобы избежать подобных неприятностей, необходимо каким-то образом снизить влияние «плохих» наблюдений (выбросов), либо вовсе исключить их. Однако возникает вопрос: «Как отличить „плохое“ наблюдение от „хорошего“?» Даже самый простой из подходов — субъективный (основанный на внутренних ощущениях исследователя) — может принести значительную пользу, однако для отбраковки все же предпочтительнее применять методы, имеющие в своей основе некие строгие математические обоснования, а не только интуитивные предположения исследователя. Этот процесс представляет собой весьма нетривиальную задачу для статистика и определяет собой одно из направлений статистической науки.

Понятие робастности[править | править вики-текст]

По материалам [1][2].

Под робастностью в статистике понимают нечувствительность к различным отклонениям и неоднородностям в выборке, связанным с теми или иными, в общем случае неизвестными, причинами. Это могут быть ошибки детектора, регистрирующего наблюдения, чьи-то добросовестные или намеренные попытки «подогнать» выборку до того, как она попадёт к статистику, ошибки оформления, вкравшиеся опечатки и многое другое. Например, наиболее робастной оценкой параметра сдвига закона распределения является медиана, что на интуитивном уровне вполне очевидно (для строгого доказательства следует воспользоваться тем, что медиана является усечённой М-оценкой, см. ниже)[1]. Помимо непосредственно «бракованных» наблюдений также может присутствовать некоторое количество наблюдений, подчиняющихся другому распределению. Ввиду условности законов распределений, а это не более, чем модели описания, сама по себе выборка может содержать некоторые расхождения с идеалом.

Тем не менее, параметрический подход настолько вжился, доказав свою простоту и целесообразность, что нелепо от него отказываться. Поэтому и возникла необходимость приспособить старые модели к новым задачам.

Стоит отдельно подчеркнуть и не забывать, что отбракованные наблюдения нуждаются в отдельном, более пристальном внимании. Наблюдения, кажущиеся «плохими» для одной гипотезы, могут вполне соответствовать другой. Наконец, отнюдь не всегда резко выделяющиеся наблюдения являются «браком». Одно такое наблюдение для генной инженерии, к примеру, стоит миллионов других, мало отличающихся друг от друга.

Основные подходы[править | править вики-текст]

Для того, чтобы ограничить влияние неоднородностей, либо вовсе его исключить, существует множество различных подходов. Среди них выделяются два основных направления.

  • Группировка данных без удаления отдельных наблюдений (для снижения возможности порчи выборки отдельными выпадами). После чего с достаточной степенью уверенности допустимо использование классических методов статистики.

Группирование данных как метод робастной статистики[править | править вики-текст]

Посредством группирования выборки можно резко снизить влияние отдельных наблюдений, не отбрасывая их. Разбиение на интервалы не представляет особых трудностей и даёт весьма ощутимый результат. Существует три наиболее распространённых способа разбиения.

  • Разбиение на интервалы равной длины. Наиболее простой и потому распространённый способ.
  • Разбиение на асимптотически оптимальные интервалы. При таком разбиении минимизируются потери информации в результате группирования, то есть максимизируется фишеровская информация \sum \left( \frac{ \partial \ln P_i }{ \partial \theta } \right ) ^2 P_i \!, где \theta \! — оцениваемый параметр закона. Для многих законов распределения удалось получить инвариантные относительно параметров границы интервалов, и были составлены соответствующие таблицы. Такое разбиение позволяет максимизировать мощность критерия.

Подход, основанный на функции влияния[править | править вики-текст]

По материалам [1].

Введение[править | править вики-текст]

В данном разделе рассматриваются аспекты, касающиеся оценивания параметров закона распределения по «засорённой» выборке с использованием подхода, предложенного Хампелем. Для того, чтобы изучить влияние отдельно взятого наблюдения на оценку (рассматриваемую статистику) того или иного параметра закона распределения Хампелем вводится так называемая функция влияния (англ. influence function), которая представляет собой ни что иное, как производную этой статистики.

Основные понятия[править | править вики-текст]

Введём функционал T\!, как функцию от некоторой выборки X=(X_1 \ldots X_n) \in \mathbb{X}\! из распределения F\! c параметром \theta \in \Theta\! (оно же F_\theta\!). T\! зависит от X:F_\theta\!. Значит T\! является функцией от закона F\! и от параметра \theta\!. Пусть T\! также удовлетворяет некоторым условиям состоятельности и регулярности:

T(F) = \theta, \quad \int T \, \mathrm{d} F = 0.\!

Определим производную этого функционала T\! в точке с распределением F\! следующим образом:

\exists \, a: \quad \lim_{t \to 0} \frac{T((1 - t)F+t G) - T(F)}{t} := \int a \, \mathrm{d} G ,\!

где:

  • a\! — некая функция, смысл которой прояснится на следующем шаге;
  • G\! — некий закон распределения, отличный от F\!.

Подставим \Delta_x\!, приписывающую единичную массу событию X = x\!, вместо G\!, в результате чего от интеграла в правой части выражения останется только a(x)\!, и перепишем получившийся результат в следующем виде:

IF = \lim_{t \to 0} \frac{T((1 - t) F + t \Delta_x) - T(F)}{t} . \!

Эту функцию и называют функцией влияния.

Чтобы пояснить смысл введённого понятия подставим \frac{1}{n}\! вместо t\!, заменив предел. В результате выражение F_{t,x}=(1 - t)F + t \Delta_x \! преобразуется в F_{\frac{1}{n},x}=\frac{(n-1)F + \Delta_x}{n}\!, что соответствует ситуации, когда в выборку, состоящую из (n-1)\! наблюдения, подчиняющихся распределению F\!, добавляют ещё одно новое. Таким образом IF\! отслеживает реакцию используемого функционала T\! на внесённое добавление, показывая влияние от вклада отдельного наблюдения x\! на оценку по всей совокупности данных.

Для характеристики влияния отдельных наблюдений также вводят понятие чувствительности к большой ошибке \gamma :

\gamma = \sup_{x \in \mathbb{X}} | IF(x) | .

Если функция влияния ограничена, то соответствующую оценку называют B(бэ)-робастной.

М-оценки[править | править вики-текст]

Наиболее эффективными и широко используемыми оценками параметров законов распределений являются оценки максимального правдоподобия (ОМП), которые определяются одним из следующих условий:

\sum_i \ln P_i  \to  \max_{\theta \in \Theta},\qquad \sum_i \frac{\partial \ln P_i}{\partial \theta} = 0, \qquad \sum_i \frac{P_i'}{P_i} = 0 , \!

где в случае негруппированной выборки P_i=f(x_i,\theta)\!, а в случае группированной — P_i=\left( \int\limits_{x_{i-1}}^{x_i} f(x,\theta) \, \mathrm{d} x \right)^{n_i}\!

М-оценки — есть некое обобщение ОМП. Они определяются аналогично одним из соотношений:

\sum_{i=1}^N \rho(x_i,\theta) \to \max_{\theta \in \Theta}, \qquad \sum_{i=1}^N \phi(x_i,\theta) =0 . \!

Если наложить условие регулярности в подстановке  F_{t,x}=(1-t)F+t\Delta_x \! и продифференцировать его по t\! в 0:

0 = \frac{\partial}{\partial{t}} \int \phi(x,T(F_{t,x})) \, \mathrm{d} F_{t,x}\!
0 = \int \frac{\partial \phi(x,T(F_{t,x}))}{\partial \theta} IF \, \mathrm{d} F_{t,x} + \int \phi(x,T(F_{t,x})) \, \mathrm{d} \frac{\partial ((1-t)F + t \Delta_x)}{\partial t}\!
0 = IF \int \frac{\partial \phi(x,T(F_{t,x}))}{\partial \theta}  \, \mathrm{d} F_{t,x} + \phi(x,T(F_{t,x})) , \!

то не представляет большого труда получить выражение функции влияния для M-оценок:

IF=\frac{-\phi(x)} {\int \phi'_{\theta} (x) \, \mathrm{d} F} . \!

Указанное выражение позволяет сделать вывод о том, что M-оценки эквивалентны с точностью до ненулевого множителя-константы.

Пример функций влияния для усечённых ОМП параметров сдвига (синяя линия) и параметра масштаба (красная линия) стандартного нормального закона распределения

Несложно проверить, что для ОМП стандартного нормального закона распределения \mathcal{N}(0,1)\! функции влияния IF\! параметра сдвига и параметра масштаба выглядят соответственно:

 IF = x, \quad IF = \frac{1}{2} \; x^2 - \frac{1}{2} . \!

Эти функции неограничены, а это значит, что ОМП не является робастной в терминах B-робастности.

Для того, чтобы это исправить, M-оценки искусственно ограничивают, а значит и ограничивают её IF\! (см. выражение IF\! для M-оценок), устанавливая верхний барьер на влияние резко выделяющихся (далеко отстоящих от предполагаемых значений параметров) наблюдений. Делается это введением так называемых усечённых M-оценок, определяемых выражением:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): \phi_b (z)=\left\{ \begin{array}{lr} \phi(b), & b < z \\ \phi(z), & -b < z \leqslant b \\ \phi(-b), & z \leqslant -b \end{array} \right , \!


где z=\frac{x-\theta}{S}, \theta\! и S\! — оценки параметров сдвига и масштаба соответственно.

Среди усечённых M-оценок оптимальными с точки зрения B-робастности являются усечённые ОМП[1].

Процедура оценивания параметров[править | править вики-текст]

Чтобы решить уравнение

\sum_{i=1}^N \phi(x_i,\theta) =0\!

необходимо воспользоваться каким-либо численным методом. Для этого понадобится выбрать начальные приближения. Нулевым параметром сдвига обычно служит медиана, параметром масштаба — значение, кратное медиане отклонений от медианы.

Например, если необходимо оценить параметр сдвига, скажем, нормального закона распределения, можно воспользоваться методом Ньютона численного нахождения корней уравнения. В результате вся процедура нахождения параметра сводится к итеративному вычислению выражения:

\theta_{k+1}=\theta_k - \frac{\sum_{i=1}^N \phi (x_i,\theta_k)}{\sum_{i=1}^N \phi'_\theta (x_i,\theta_k)}=\theta_k - \frac{\sum_{i=1}^N \phi \left((x_i-\theta_k)/S\right)}{\sum_{i=1}^N \phi'_\theta \left((x_i-\theta_k)/S\right)}=\theta_k + S \frac{\sum_{i=1}^N \phi \left(z\right)}{\sum_{i=1}^N \phi'_z \left(z\right)} ,

где S\! — некоторая оценка параметра масштаба, используемая для уравнивания распределения с разным размахом.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 4 5 Хампель Ф., Рончетти Э., Рауссеу П., Штаэль В. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния = Robust statistics: the approach based on influence functions. — М.: Мир, 1989.
  2. Хьюбер П. Робастность в статистике. — М.: Мир, 1984.
  3. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973.

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Источники[править | править вики-текст]

  • Robert G. Staudte: Robust estimation and testing. Wiley, New York 1990. ISBN 0-471-85547-2
  • Rand R. Wilcox: Introduction to robust estimation and hypothesis testing. Academic Press, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3