Численное решение уравнений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точный метод решения неизвестен или трудоёмок.

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Рассмотрим методы численного решения уравнений и систем уравнений:

или

Численное решение задачи можно проводить как непосредственно (используя одноимённые методы), так и с применением оптимизационных методов, приведя задачу к соответствующему виду. Последним посвящена статья Градиентные методы.

Численные методы решения уравнений[править | править вики-текст]

Покажем, как можно решить изначальную систему уравнений, не прибегая к оптимизационным методам. В случае, если наша система представляет собой СЛАУ, целесообразно прибегнуть к таким методам, как метод Гаусса или метод Ричардсона. Однако мы всё же будем исходить из предположения, что вид функции нам неизвестен, и воспользуемся одним из итерационных методов численного решения. Среди большого разнообразия таковых выберем один из наиболее известных — метод Ньютона. Этот метод в свою очередь основывается на принципе сжимающего отображения. Поэтому сначала будет изложена суть последнего.

Сжимающее отображение[править | править вики-текст]

Определим терминологию:

Говорят, что функция осуществляет сжимающее отображение на , если

Тогда справедлива следующая основная теорема:

Logo arte.jpg Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений).
Если — сжимающее отображение на , то:
  1. Уравнение имеет единственный корень в ;
  2. Итерационная последовательность сходится к этому корню;
  3. Для очередного члена справедливо .

Из последнего пункта теоремы вытекает, что скорость сходимости любого метода на основе сжимающих отображений не менее линейной.

Поясним смысл параметра для случая одной переменной. Согласно теореме Лагранжа имеем:

Отсюда следует, что . Таким образом, для сходимости метода достаточно, чтобы

Общий алгоритм последовательных приближений[править | править вики-текст]

  1. Уравнение преобразуется к уравнению с тем же корнем вида , где  — сжимающее отображение.
  2. Задаётся начальное приближение и точность
  3. Вычисляется очередная итерация
    • Если , то и возврат к шагу 3.
    • Иначе и остановка.

Применительно к общему случаю операторных уравнений этот метод называется методом последовательных приближений или методом простой итерации. Однако уравнение можно преобразовывать к сжимающему отображению , имеющему тот же корень, разными способами. Это порождает ряд частных методов, имеющих как линейную, так и более высокие скорости сходимости.

Применительно к СЛАУ[править | править вики-текст]

Рассмотрим систему:

Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:

Метод будет сходится с линейной скоростью, если

Двойные вертикальные черты означают некоторую норму матрицы.

Решение уравнения cos(x)=x по методу простой итерации, очередная итерация: xn+1=cos xn, начальное приближение: x1 = −1
Решение уравнения f(x)=0 по методу Ньютона, начальное приближение: x1=a.

Метод Ньютона (метод касательных)[править | править вики-текст]

Одномерный случай[править | править вики-текст]

Оптимизация преобразования исходного уравнения в сжимающее отображение позволяет получить метод с квадратичной скоростью сходимости.

Чтобы отображение было наиболее эффективно, необходимо, чтобы в точке очередной итерации выполнялось . Будем искать решение данного уравнения в виде , тогда:

Воспользуемся тем, что , и получим окончательную формулу для :

С учётом этого сжимающая функция примет вид:

Тогда алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

Многомерный случай[править | править вики-текст]

Обобщим полученный результат на многомерный случай.

Выбирая некоторое начальное приближение , находят последовательные приближения путём решения систем уравнений:

,

где .

Литература[править | править вики-текст]

  1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
  2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
  3. Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
  4. Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
  5. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]