Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой.

Различают криволинейный интеграл первого рода, в котором скалярная функция умножается на бесконечно малую длину области кривой, и второго рода — где вектор-функция скалярно умножается на бесконечно малый вектор, лежащий вдоль кривой, которая наделена направлением.

Определение

Начальные условия

Кривая

Пусть $l$ — гладкая (непрерывно дифференцируемая), без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически:

$l\colon ~\mathbf {r} (t),$

где r — радиус-вектор, конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b. Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой $l.$ При этом не играет роли, что больше — b или a.

Интегрируемая функция

Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой $l\colon$ $f(\mathbf {r} )$ или $\mathbf {f} (\mathbf {r} ).$

Разбиение

Разбиение отрезка параметризации

• Пусть дано разбиение отрезка $[a,b]$ (или $[b,a]$) то есть множество $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}=\{t_{0},~...,t_{n}\},$ где:
  • $a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b,$ если $a<b;$
  • или $a={{t}_{0}}>\ldots >{{t}_{n}}=b,$ если $a>b.$

• Мелкостью этого разбиения называется число $\max _{k={\overline {1,n}}}\{|t_{k}-t_{k-1}|\},$ обозначающее максимальное возможное из расстояний между всеми соседними значениями этого разбиения.

• Введём набор промежуточных точек разбиения — точек $\xi _{k},$ каждая из которых лежит между $t_{k-1}$ и $t_{k}$ ($k={\overline {1,n}}$).

Разбиение кривой

• Зададим разбиение кривой $\{\mathbf {r} (t_{k})\}_{k=0}^{n},$ которое соответствует разбиению $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}$ отрезка параметризации.

• За $l_{k}$ обозначим часть кривой $\mathbf {r} (t)$ от значения параметра $t=t_{k-1}$ до значения $t=t_{k},$ где $k={\overline {1,n}}.$

• Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой — точек $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ каждая из которых лежит на $l_{k}$ ($k={\overline {1,n}}$).

Интегральные суммы

Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ разбиение $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}$ и участки $l_{k}$ кривой $l.$ Рассмотрим две интегральные суммы:

• интегральную сумму для интеграла первого рода:

  $\sum \limits _{k=1}^{n}f{\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot |l_{k}|,$ где |l_k| — длина участка l_k;

• интегральную сумму для интеграла второго рода:

  $\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot {\big (}\mathbf {r} (t_{k})-\mathbf {r} (t_{k-1}){\big )},$

где вектор-функция f скалярно умножается на приращение r(t_k) − r(t_k−1).

Криволинейный интеграл

Если в интегральных суммах n неограниченно увеличить так, чтобы мелкость стремилась к нулю, то в пределе получится криволинейный интеграл от функции $f$ ($\mathbf {f}$) по кривой $l.$ Если этот предел действительно существует, то говорят, что функция $f$ ($\mathbf {f}$) интегрируема по кривой $l.$ Тогда интегралы первого и второго рода обозначаются:

$\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |},\quad \int _{l}\mathbf {f(r)\cdot dr} ,$

где dr — вектор-дифференциал вдоль кривой. В случае с интегралом второго рода важно направление кривой: от этого зависит направление самого дифференциала dr.

Если кривая $l$ замкнута (начало совпадает с концом), то вместо значка $\textstyle \int$ принято писать $\textstyle \oint .$

Криволинейный интеграл первого рода

Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле

Свойства

1. Линейность:

   $\int _{l}(\alpha f(\mathbf {r} )+\beta g(\mathbf {r} ))\cdot \mathbf {|dr|} =\alpha \int _{l}f\mathbf {|dr|} +\beta \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$

2. Аддитивность: если $l_{1}$ и $l_{2}$ пересекаются в одной точке, то

   $\int _{l_{1}\cup l_{2}}f\mathbf {|dr|} =\int _{l_{1}}f\mathbf {|dr|} +\int _{l_{2}}f\mathbf {|dr|} .$

3. Монотонность: если $f\leqslant g$ на $l$, то

   $\int _{l}f\mathbf {|dr|} \leqslant \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$

4. Теорема о среднем: при непрерывности функции $f$ на $l$ для интеграла $\textstyle \int _{l}f\mathbf {|dr|}$ возможно подобрать такую точку $\xi \in l,$ что

   $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =\int _{l}f(\xi )\mathbf {|dr|} ,$ или, что то же самое, $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =f(\xi )\cdot |l|.$

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:

   $\int _{AB}f\cdot |\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |{-}\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |\mathbf {dr} |.$

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть $l$ — гладкая, спрямляемая (конечной длины) кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция $f(\mathbf {r} )$ определена и интегрируема вдоль кривой $l.$ Тогда в общем случае

$\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|=\int _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|,$

или, если раскрыть модуль дифференциала dt,

$\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}={\begin{cases}\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt),&{\text{если}}~a<b,\\\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt)=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt,&{\text{если}}~a>b.\end{cases}}$

где точкой обозначена производная по t.

Криволинейный интеграл второго рода

Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле

Свойства

1. Линейность:

$\int _{l}(\alpha \mathbf {f} +\beta \mathbf {g} )\cdot \mathbf {dr} =\alpha \int _{l}\mathbf {f\cdot dr} +\beta \int _{l}\mathbf {g\cdot dr} .$

2. Аддитивность:

$\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} +\int _{BC}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{ABC}\mathbf {f\cdot dr} .$

3. $\int _{BA}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{AB}\mathbf {f} \cdot (-\mathbf {dr} )=-\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} .$

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Вычисление

Пусть AB — гладкая кривая, заданная параметрически (как в определении) и наделённая направлением от A до B. Пусть функция $\mathbf {f}$ определена и интегрируема вдоль кривой $l.$ Тогда

$\int _{AB}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt,$

а при изменении обхода кривой:

$\int _{BA}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{b}^{a}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt=-\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt.$

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Если обозначить за ${\vec {\tau }}$ единичный вектор касательной к кривой $l,$ который имеет то же направление, в каком параметризирована сама кривая, то взаимосвязь между криволинейными интегралами такова:

$\mathbf {\color {Green}dr} ={\vec {\tau }}\mathbf {\color {Green}|dr|} .$

В терминах самих интегралов это выглядит так:

$\int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Green}|dr|} ,$

где $l$ — гладкая, спрямляемая кривая, наделённая направлением, а вектор-функция $\mathbf {f}$ интегрируема на ней.

Трёхмерное евклидово пространство

В трёхмерном евклидовом пространстве дифференциалы координат вектора, направленного вдоль направленной кривой, выражаются через направляющие косинусы, если воспользоваться определением скалярного произведения:

$dx=\cos \angle ({\vec {i}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;$

$dy=\cos \angle ({\vec {j}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;$

$dz=\cos \angle ({\vec {k}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |.$

Тогда, раскладывая скалярное произведение в $\textstyle \int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Green}|dr|}$ по координатам, взаимосвязь криволинейных интегралов можно выразить так:

$\int _{l}f_{x}(x,y,z)dx=\int _{l}f_{x}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {i}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;$

$\int _{l}f_{y}(x,y,z)dy=\int _{l}f_{y}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {j}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;$

$\int _{l}f_{z}(x,y,z)dz=\int _{l}f_{z}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {k}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |.$

Механические приложения

• Работа A по перемещению материальной точки вдоль направленной кривой l под воздействием силы F представляет собой

$A=\int _{l}\mathbf {F\cdot dr} .$

• Масса m криволинейного (бесконечно тонкого) тела l, линейная плотность которого вдоль кривой l равна μ(r), выражается интегралом

$m=\int _{l}\mathbf {\mu (r)|dr|} .$

• Центр масс (центра тяжести) криволинейного тела l с линейной плотностью μ(r) выражается через радиус-вектор r_c как

$\mathbf {r} _{c}={\frac {1}{m}}\int _{l}\mu (\mathbf {r} )\mathbf {r|dr|} ,$где m — масса кривой l.

• Моменты инерции кривой l при её вращении вокруг координатных осей в 3-мерном пространстве:

$I_{x}=\int _{l}(y^{2}+z^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} ,$

$I_{y}=\int _{l}(z^{2}+x^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} ,$

$I_{z}=\int _{l}(x^{2}+y^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} .$

• Сила притяжения точечной массы m₀ в начале координат с криволинейным телом l равна

$\mathbf {F} =\gamma m_{0}\int _{l}{\frac {\mu (\mathbf {r} )}{r^{3}}}|\mathbf {dr} |,$

где μ(r) — линейная плотность кривой l, γ — гравитационная постоянная.

См. также

• Комплексный криволинейный интеграл
• Теорема Грина
• Векторный анализ
• Циркуляция векторного поля
• Механические приложения криволинейных интегралов