Криволинейный интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства , но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть  — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

где — отрезок параметризации: рассматриваем часть кривой.

Пусть  — разбиение отрезка параметризации , причем .

Зададим разбиение кривой .

За обозначим часть кривой от точки до точки , .

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации : .

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации : .

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой .

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой : , , , .

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

  1. Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:
    .
  1. Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:
    ,
    ,
    .

Если , то говорят, что функция интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой , а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции по кривой и обозначают . Здесь  — дифференциал кривой.

Если , , , то говорят, что функции , и интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой , а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций , и по кривой и обозначают

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций , и также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции и обозначают:

.

Если кривая замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка принято писать .

Криволинейный интеграл первого рода[править | править вики-текст]

Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Линейность:
  2. Аддитивность: если в одной точке, то
  3. Монотонность: если на , то
  4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль функции :

Очевидно, что: .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление[править | править вики-текст]

Пусть  — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по : .

Криволинейный интеграл второго рода[править | править вики-текст]

Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле

Свойства[править | править вики-текст]

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3.

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Вычисление[править | править вики-текст]

Пусть  — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

,
,
.

Если обозначить за единичный вектор касательной к кривой , то нетрудно показать, что

Взаимосвязь криволинейных интегралов[править | править вики-текст]

Пусть  — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении),  — единичный вектор, касательный к кривой . Пусть также координаты вектор-функции определены и интегрируемы вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда


Механические приложения[править | править вики-текст]

  • Работа A по перемещению материальной точки вдоль кривой l под воздействием силы вычисляется по формуле
  • Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна μ(x, y, z), выражается интегралом
  • Координаты (xc, yc, zc) центра масс (центра тяжести) кривой l с линейной плотностью μ(x, y, z) находятся по формулам:
,
,
,

где m — масса кривой l

,
,
,

где μ(z, y, z) — линейная плотность кривой l, m0 — масса точки с координатами (x0, y0, z0); γ — постоянная тяготения,

См. также[править | править вики-текст]