Квадратное пирамидальное число

Геометрическое представление квадратного пирамидального числа: 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

В математике пирамида́льное число́ или квадра́тное пирамида́льное число́ — фигурное число, представляющее собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами, параллельными осям координат, в сетке N × N.

Квадратные пирамидальные числа образуют последовательность:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, …

Формула

Квадратные пирамидальные числа могут быть вычислены по формуле:

$P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}.$

Это частный случай формулы Фаулхабера, который может быть доказан методом прямой математической индукции. Эквивалентная формула приводится в «Книге абака» (лат. Liber abaci) Фибоначчи.

В современной математике, формализация фигурных чисел происходит с помощью многочленов Эрхарта. Многочлен Эрхарта L(P,t) многогранника P — многочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. Многочлен Эрхарта пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, и вершина которой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле:

(t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = P_t + 1.

Производящая функция

Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:

$\mathbf {1} x+\mathbf {5} x^{2}+\mathbf {14} x^{3}+\mathbf {30} x^{4}+\mathbf {55} x^{5}+\ldots ={\frac {x(x+1)}{(x-1)^{4}}}.$

Связь с другими фигурными числами

Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммы биноминальных коэффицентов:

$P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.$

Биномиальные коэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — это тетраэдрические числа. Эта формула выражает квадратные пирамидальные числа в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел. В этой сумме, одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложенной пирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагонали квадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдрическими следующим образом:

$P_{n}={\frac {1}{4}}{\binom {2n+2}{3}}.$

Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Square Pyramidal Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions. — National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, 1964. — P. 813. — ISBN 0486612724.