Произведение Кронекера

Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается $\otimes$. Результатом является блочная матрица.

Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.

Определение

Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведением Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq

$A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.$

Билинейность, ассоциативность и некоммутативность

• Произведение Кронекера является частным случаем тензорного произведения, и значит оно является билинейным и асоциативным:

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,$

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C,$

$(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),$

$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),$

где A, B и C есть матрицами, а k — скаляр.

• Произведение Кронекера не является коммутативным. Хотя, всегда существуют такие матрицы перестановки P и Q, что

$A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.$

Если A и B квадратные матрицы, тогда A $\otimes$ B и B $\otimes$ A являются перестановочно подобными, то есть, P = Q^T.

Транспонирование

Операция транспонирования является дистрибутивной относительно произведения Кронекера

$(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.$

Смешанное произведение

• Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда

$(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.$

• A $\otimes$ B является обратной тогда и только тогда, когда A и B являются обратными, и тогда

$(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.$

Сумма и экспонента Кронекера

• Если A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и $I_{k}$ — единичная матрица размера k×k тогда можно определить сумму Кронекера $\oplus$ как

$A\oplus B=A\otimes I_{m}+I_{n}\otimes B.$

• Также справедливо

$e^{A\oplus B}=e^{A}\otimes e^{B}.$

Спектр, след и определитель

• Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ₁, …, λ_n — собственные значения матрицы A и μ₁, …, μ_q собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A $\otimes$ B являются

$\lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.$

• След и определитель произведения Кронекера равны

$\operatorname {tr} (A\otimes B)=\operatorname {tr} (A)\,\operatorname {tr} (B),$

$\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{n}.$

Сингулярное разложение и ранг

• Если матрица A имеет r_A ненулевых сингулярных значений:

$\sigma _{A,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{A}.$

Ненулевые сингулярные значения матрицы B:

$\sigma _{B,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{B}.$

Тогда произведение Кронекера A $\otimes$ B имеет r_Ar_B ненулевых сингулярных значений

$\sigma _{A,i}\sigma _{B,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{A},\,j=1,\ldots ,r_{B}.$

• Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений, значений

$\operatorname {rank} (A\otimes B)=\operatorname {rank} (A)\,\operatorname {rank} (B).$