Abc-гипотеза: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
MBHbot (обсуждение | вклад) м удаление удалённого шаблона |
|||
Строка 35: | Строка 35: | ||
*Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию [[натуральные числа]] <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>. Тогда неравенство сводится к следующему: |
*Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию [[натуральные числа]] <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>. Тогда неравенство сводится к следующему: |
||
*: <math>c\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname{rad}(abc)\right)^{1+\varepsilon}</math> |
*: <math>c\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname{rad}(abc)\right)^{1+\varepsilon}</math> |
||
*Условие <math>\varepsilon>0</math> необходимо. Для любого <math>K</math> существует тройка взаимно простых чисел <math>a, b, c=a+b</math> таких, что <math>c>K \cdot \operatorname{rad}(abc)</math>. Например тройка вида <math>a=1, b=2^{2\cdot 3^n}-1, c=2^{2\cdot 3^n}</math>, где <math>K<3^{n-1}</math>. |
*Условие <math>\varepsilon>0</math> необходимо. Для любого <math>K</math> существует тройка взаимно простых чисел <math>a, b, c=a+b</math> таких, что <math>c>K \cdot \operatorname{rad}(abc)</math>. Например тройка вида <math>a=1, b=2^{2\cdot 3^n}-1, c=2^{2\cdot 3^n}</math>, где <math>K<3^{n-1}</math>. |
||
== Доказательство гипотезы Била == |
== Доказательство гипотезы Била == |
||
Из справедливости {{mvar|abc}}-гипотезы следует справедливость [[Гипотеза Била|гипотезы Била]] для достаточно больших <math>z</math>, а из неё — справедливость [[Великая теорема Ферма|великой теоремы Ферма]] для достаточно больших степеней |
Из справедливости {{mvar|abc}}-гипотезы следует справедливость [[Гипотеза Била|гипотезы Била]] для достаточно больших <math>z</math>, а из неё — справедливость [[Великая теорема Ферма|великой теоремы Ферма]] для достаточно больших степеней<ref>{{статья |
||
|автор = R. Daniel Mauldin |
|автор = R. Daniel Mauldin |
||
|заглавие = A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem |
|заглавие = A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem |
||
Строка 49: | Строка 48: | ||
|номер = 11 |
|номер = 11 |
||
|страницы = 1436-1437 |
|страницы = 1436-1437 |
||
}}</ref> |
}}</ref>. |
||
{{Сокрытие |
{{Сокрытие |
Версия от 11:36, 5 марта 2017
abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году[2].
Решение гипотезы составляет одну из главных проблем теории чисел.
Формулировка
Для любого существует постоянная , при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел , и , таких, что , выполняется неравенство:
- ,
где — радикал целого числа.
Замечания
- Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа , и . Тогда неравенство сводится к следующему:
- Условие необходимо. Для любого существует тройка взаимно простых чисел таких, что . Например тройка вида , где .
Доказательство гипотезы Била
Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших , а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней[3].
Согласно гипотезе Била, если (, , , , , — натуральные и ), то , , имеют общий делитель.
Докажем гипотезу Била для достаточно больших от противного. Предположим, существует бесконечное количество , для которых гипотеза Била неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:
Учтём, что . Поэтому:
Поскольку из условий теоремы очевидно, что и , то . Тогда:
Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на , получим ограничение сверху на величину :
- , (*)
причём, отношение должно быть конечным, поскольку, по условию , , — натуральные (то есть )
Таким образом, можно найти некоторое конечное значение , для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь несправедлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Била для достаточно больших ошибочно. Для оставшегося конечного количества справедливость гипотезы Биля можно доказать численно.
Доказательство гипотезы Пиллаи
Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.
Доказательство Мотидзуки
В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу[4][5]. В октябре того же года Веселин Димитров и Акшай Венкатеш обнаружили ошибку в доказательстве, Мотидзуки признал этот факт, но заявил, что данная ошибка не влияет на основные результаты, а также обещал в ближайшее время опубликовать исправленную версию[6], что позже и сделал; последний из серии исправленных документов был датирован декабрём 2013 года[5].
Опубликовав доказательство, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Он публикует отчёты о ходе этой работы[7]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах[8].
Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств[9] (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).
Примечания
- ↑ D. W. Masser. Open problems (англ.) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / W. W. L. Chen. — London: Imperial College, 1985. — Vol. 25.
- ↑ J. Oesterlé. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (фр.) // Séminaire N. Bourbaki. — 1988. — Vol. 694. — P. 165–186. — ISSN 0303-1179.
- ↑ R. Daniel Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS. — 1985. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436-1437.
- ↑ "Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы". Lenta.ru. 2012-09-11. Дата обращения: 11 сентября 2012.
- ↑ 1 2 Mochizuki, Shinichi (August 2012). Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters, Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation, Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice., Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations, доступны на странице http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html
- ↑ Kevin Hartnett (3 November 2012). "An ABC proof too tough even for mathematicians". Boston Globe.
- ↑ IUTeich Verification Report 2013-12, IUTeich Verification Report 2014-12
- ↑ «Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики. // Lenta.ru, 2015-10-08
- ↑ Caroline Chen. The Paradox of the Proof (4 мая 2013). Дата обращения: 6 сентября 2016. Перевод: Даниил Басманов. Парадокс доказательства (17 июня 2013). Дата обращения: 6 сентября 2016.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. abc Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Лекции про ABC-гипотезу: Лекция 1, Лекция 2, Лекция 3, Лекция 4 (by Keith Conrad).
- Парадокс доказательства, Хабрахабр.
Литература
- Стюарт И. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.