Алгебраическое расширение: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Lockalbot (обсуждение | вклад) м робот удалил: eo:Vikipedio:Projekto matematiko/Algebra vastigaĵo |
Нет описания правки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Алгебраи́ческое расшире́ние''' — [[расширение поля]] ''E<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'', каждый элемент ''α'' которого алгебраичен над ''K'', т.е. существует многочлен ''f(x)'' с коэффициентами из ''K'' для которого ''α'' является корнем. Например, все [[Конечное расширение|конечные расширения]] алгебраичны. |
|||
В [[абстрактная алгебра|абстрактной алгебре]] [[расширение поля]] ''L''/''K'' называется '''алгебраическим''', если каждый элемент из ''L'' является [[корень|корнем]] некоторого [[многочлен]]а с коэффициентами из ''K''. |
|||
== Свойства алгебраических расщирений == |
|||
⚫ | |||
Пусть ''K<span style='font-family: |
|||
Symbol'>Ì</span> E<span style='font-family: |
|||
Symbol'>Ì</span> F''. Если ''E<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> E'' алгебраичны, то и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраично. Обратно, если ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраично, то и ''E<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраичны. |
|||
В самом деле, если ''α'' — какой-нибудь элемент ''F'', то он по определению является корнем некоторого многочлена ''f(x)'' с коэффициентами ''a<sub>1</sub>,...a<sub>n</sub>'' из ''E''. Так как все эти ''a<sub>i</sub>'' алгебраичны над ''K'', то расширение ''K(a<sub>1</sub>,...a<sub>n</sub>)'' является [[Конечное расширение|конечным]] над ''K'', а так как ''α'' алгебраично над ''L=K(a<sub>1</sub>,...a<sub>n</sub>)'', то имеем по свойству башни конечных расширений, что ''L(α)'' конечно над ''K'', а элемент α алгебраичен над ''K''. Обратное утверждение очевидно. |
|||
Если ''α'' и ''β'' алгебраичны над ''K'', то из предыдущего следует, что ''K(α,β)=K(α)(β)'' алгебраично над ''K'', а значит, ''α+β,α-β,αβ,α/β'' тоже алгебраичны. Отсюда следует, что если ''K<span style='font-family: |
|||
Symbol'>Ì</span> E'', то множество элементов ''K<sup>*</sup><span style='font-family:Symbol'>Ì</span> E'', алгебраических над ''К'' образуют поле. Если ''E'' является [[Алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнутым]], то и ''K<sup>*</sup>'' алгебраически замкнуто. Если взять за ''K'' поле [[Рациональное число|рациональных чисел]] '''R''', а за ''E'' алгебраически замкнутое по [[Основная теорема алгебры|основной теореме алгебры]] поле [[Комплексное число|комплексных чисел]] '''C''', то получим поле [[Алгебраическое число|алгебраических чисел]] '''A'''. |
|||
Если ''E<span style='font-family: |
|||
Symbol'>Ì</span> K'' алгебраично, то для любого расширения ''F<span style='font-family: |
|||
Symbol'>Ì</span> K'' то (если ''F'' и ''E'' содержатся в каком-нибудь поле) композит полей ''EF'' является алгебраическим расширением ''F''). Это легко следует из предыдущего. |
|||
== Литература == |
|||
* Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975 |
|||
* Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963 |
|||
* Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967 |
|||
⚫ | |||
[[Категория:Теория полей]] |
|||
[[de:Algebraische Erweiterung]] |
[[de:Algebraische Erweiterung]] |
Версия от 05:11, 22 мая 2008
Алгебраи́ческое расшире́ние — расширение поля EÉ K, каждый элемент α которого алгебраичен над K, т.е. существует многочлен f(x) с коэффициентами из K для которого α является корнем. Например, все конечные расширения алгебраичны.
Свойства алгебраических расщирений
Пусть KÌ EÌ F. Если EÉ K и FÉ E алгебраичны, то и FÉ K алгебраично. Обратно, если FÉ K алгебраично, то и EÉ K и FÉ K алгебраичны.
В самом деле, если α — какой-нибудь элемент F, то он по определению является корнем некоторого многочлена f(x) с коэффициентами a1,...an из E. Так как все эти ai алгебраичны над K, то расширение K(a1,...an) является конечным над K, а так как α алгебраично над L=K(a1,...an), то имеем по свойству башни конечных расширений, что L(α) конечно над K, а элемент α алгебраичен над K. Обратное утверждение очевидно.
Если α и β алгебраичны над K, то из предыдущего следует, что K(α,β)=K(α)(β) алгебраично над K, а значит, α+β,α-β,αβ,α/β тоже алгебраичны. Отсюда следует, что если KÌ E, то множество элементов K*Ì E, алгебраических над К образуют поле. Если E является алгебраически замкнутым, то и K* алгебраически замкнуто. Если взять за K поле рациональных чисел R, а за E алгебраически замкнутое по основной теореме алгебры поле комплексных чисел C, то получим поле алгебраических чисел A.
Если EÌ K алгебраично, то для любого расширения FÌ K то (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является алгебраическим расширением F). Это легко следует из предыдущего.
Литература
- Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967