Алгебраическое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Алгебраи́ческое число́ над полем  — элемент алгебраического замыкания поля , то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из .

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть , в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается . Это множество является подполем поля комплексных чисел.

Связанные определения[править | править код]

  • Вещественное число или комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
  • Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.
  • Если  — алгебраическое число, то среди всех многочленов, имеющих своим корнем, с коэффициентами из поля , содержащего число 1, существует единственный многочлен наименьшей степени с единичным старшим коэффициентом. Такой многочлен называется минимальным, или каноническим, многочленом алгебраического числа над .
    • Если поле не уточняется, то предполагается, что минимальный многочлен берётся над . Старший коэффициент канонического многочлена должен быть равен 1; правда, иногда в качестве канонического многочлена берут многочлен, получающийся из многочлена, минимального над , домножением на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами, как можно более близкими к 0 (по абсолютной величине), и с натуральным старшим коэффициентом.
    • Минимальный над многочлен по определению является неприводимым над .
    • Степень канонического над многочлена называется степенью алгебраического числа .
    • Другие корни канонического над многочлена называются сопряжёнными (по Галуа) с над .
    • Высотой алгебраического числа называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем своим корнем. Эта величина также называется высотой самого́ неприводимого многочлена.

Примеры[править | править код]

  • Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами первой степени.
  • Мнимая единица и являются алгебраическими числами второй степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно и .
  • — алгебраическое число 3-й степени, корень многочлена . Сопряжённые числа равны .
  • С числом является сопряжённым не только , но и .
  • Для любого целого числа число является алгебраическим числом степени .

Свойства[править | править код]

  • Множество алгебраических чисел счётно, а следовательно, его мера равна нулю.
  • Множество алгебраических чисел плотно на комплексной плоскости.
  • Сумма, разность, произведение и частное[1] двух алгебраических чисел — алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
  • Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
  • Для всякого алгебраического числа существует такое натуральное , что  — целое алгебраическое число.
  • Алгебраическое число степени имеет различных сопряжённых чисел (включая себя).
  • и сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля , переводящий в .
  • Любое алгебраическое число вычислимо, а следовательно, арифметично.
  • Порядок на множестве действительных алгебраических чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.[прояснить]

Числа, выразимые в радикалах[править | править код]

Любое число, которое можно получить из целых чисел при помощи четырёх действий арифметики (сложения, вычитания, умножения, деления), а также извлечением корня целой степени, является алгебраическим. Так, например, алгебраическим будет число , а также числа вида , где рациональные числа.

Однако не все алгебраические числа можно записать при помощи радикалов. Так, например, согласно теореме Абеля — Руффини многочлены пятой степени и выше с целыми коэффициентами, могут быть неразрешимы в радикалах. Корни таких многочленов являются алгебраическими числами, которые невозможно построить из целых четырьмя арифметическими действиями и извлечением корней[2].

История[править | править код]

Название алгебраические и трансцендентные числа предложил Эйлер в 1775 году. В то время ещё не была известна трансцендентность ни одного известного числа[2]. Алгебраические поля, отличные от рационального, стал рассматривать Гаусс. При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида , где и  — целые числа. Продолжение исследований Гаусса привело во второй половине XIX века к построению общей теории алгебраических чисел[3]. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн создали арифметику чисел вида , где  — кубический корень из единицы, а и  — целые числа. В 1844 году Лиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Куммера к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила своё дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Золотарев (теория идеалов), Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), Марков (кубическое поле), Сохоцкий (теория идеалов) и другие.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. кроме частного от деления на ноль
  2. 1 2 A. Жуков. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант. — 1998. — № 4.
  3. И. М. Виноградов. Карл Фридрих Гаусс // Труды по теории чисел. — М.: АН СССР, 1959.

Ссылки[править | править код]