Алгебраическое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Алгебраи́ческое число́ над полем  — элемент алгебраического замыкания поля , то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из .

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть , в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается . Данная статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам». Поле является подполем поля комплексных чисел.

Связанные определения[править | править код]

  • Комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
  • Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.
  • Если  — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице. Такой многочлен называется минимальным, или каноническим многочленом алгебраического числа (иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами).
    • Минимальный многочлен всегда является неприводимым.
    • Степень канонического многочлена называется степенью алгебраического числа .
    • Другие корни канонического многочлена называются сопряжёнными с .
    • Высотой алгебраического числа называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем своим корнем.

Примеры[править | править код]

  • Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами первой степени.
  • Мнимая единица и являются алгебраическими числами второй степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно и .
  • Для любого натурального числа число является алгебраическим числом степени .

Свойства[править | править код]

  • Множество алгебраических чисел счётно, а следовательно, его мера равна нулю.
  • Множество алгебраических чисел плотно на комплексной плоскости.
  • Сумма, разность, произведение и частное[1] двух алгебраических чисел — алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
  • Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
  • Для всякого алгебраического числа существует такое натуральное , что  — целое алгебраическое число.
  • Алгебраическое число степени имеет различных сопряжённых чисел (включая себя).
  • и сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля , переводящий в .
  • Любое алгебраическое число вычислимо, а следовательно, арифметично.
  • Порядок на множестве действительных алгебраических чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.[прояснить]


Числа, записанные при помощи радикалов[править | править код]

Любое число, которое можно получить из целых чисел при помощи четырёх действий арифметики (сложения, вычитания, умножения, деления), а также извлечением корня целой степени, является алгебраическим. Так, например, алгебраическим будет число , а также числа вида , где рациональные числа.

Однако не все алгебраические числа можно записать при помощи радикалов. Так, например, согласно теореме Абеля — Руффини существуют многочлены пятой степени с целыми коэффициентами, которые не разрешимы в радикалах. Корни такого многочлена являются алгебраическими числами, которые невозможно построить из целых четырьмя арифметическими действиями и извлечением корней[2].

История[править | править код]

Название алгебраические и трансцендентные числа предложил Эйлер в 1775 году. В то время ещё не было известно ни одного трансцендентного числа[2]. Алгебраические поля отличные от рационального стал рассматривать Гаусс. При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида , где и  — целые числа. Продолжение исследований Гаусса привело во второй половине XIX века к построению общей теории алгебраических чисел[3]. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн создали арифметику чисел вида , где  — кубический корень из единицы, а и  — целые числа. В 1844 году Лиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Куммера к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила своё дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Золотарев (теория идеалов), Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), Марков (кубическое поле), Сохоцкий (теория идеалов) и другие.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. кроме частного от деления на ноль
  2. 1 2 A. Жуков Алгебраические и трансцендентные числа // Квант. — 1998. — № 4.
  3. И. М. Виноградов. Карл Фридрих Гаусс // Труды по теории чисел. — М.: АН СССР, 1959.

Ссылки[править | править код]