Алгебраическое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебраи́ческое число́ над полем  — элемент алгебраического замыкания поля , то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из .

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть , в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается . Данная статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам». Поле является подполем поля комплексных чисел.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
  • Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.
  • Если  — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице. Такой многочлен называется минимальным, или каноническим многочленом алгебраического числа . (Иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами)
    • Минимальный многочлен всегда является неприводимым.
    • Степень канонического многочлена называется степенью алгебраического числа .
    • Другие корни канонического многочлена называются сопряжёнными к .
    • Высотой алгебраического числа называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем своим корнем.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами первой степени.
  • Мнимая единица и являются алгебраическими числами второй степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно и .
  • Для любых натуральных чисел и число является алгебраическим числом степени .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Множество алгебраических чисел счётно, а следовательно, его мера равна нулю.
  • Множество алгебраических чисел плотно на комплексной плоскости.
  • Сумма, разность, произведение и частное[1] двух алгебраических чисел — алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
  • Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
  • Для всякого алгебраического числа существует такое натуральное , что  — целое алгебраическое число.
  • Алгебраическое число степени имеет различных сопряжённых чисел (включая себя).
  • и сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля , переводящий в .
  • Любое алгебраическое число вычислимо, а следовательно, арифметично.
  • Порядок на множестве действительных алгебраических чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.[прояснить]

История[править | править вики-текст]

Впервые алгебраические поля стал рассматривать Гаусс. При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида , где и  — целые числа. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн создали арифметику чисел вида , где  — кубический корень из единицы, а и  — целые числа. В 1844 году Лиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Куммера к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила своё дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Золотарев (теория идеалов), Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), Марков (кубическое поле), Сохоцкий (теория идеалов) и другие.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. кроме частного от деления на ноль

Ссылки[править | править вики-текст]