Список интегралов от экспоненциальных функций

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Integral s.jpg
Списки интегралов
Элементарные функции

Рациональные функции
Иррациональные функции
Тригонометрические функции
Гиперболические функции
Экспоненциальные функции
Логарифмические функции
Обратные тригонометрические функции
Обратные гиперболические функции

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. В списке везде опущена аддитивная константа интегрирования.

Неопределённые интегралы[править | править исходный текст]

\int e^{cx}\;dx = \frac{1}{c} e^{cx}
\int a^{cx}\;dx = \frac{1}{c \ln a} a^{cx}, для \! a > 0, a \ne 1
\int xe^{cx}\;dx = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)
\int x^2 e^{cx}\;dx = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)
\int x^n e^{cx}\; dx = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} dx
\int\frac{e^{cx}\; dx}{x} = \ln|x| +\sum_{i=1}^\infty\frac{(cx)^i}{i\cdot i!}
\int\frac{e^{cx}\; dx}{x^n} = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} dx}{x^{n-1}}\right), для \! n\neq 1
\int e^{cx}\ln x\; dx = \frac{1}{c}e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}\,(cx)
\int e^{cx}\sin bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx)
\int e^{cx}\cos bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx)
\int e^{cx}\sin^n x\; dx = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;dx
\int e^{cx}\cos^n x\; dx = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;dx
\int x e^{c x^2 }\; dx= \frac{1}{2c} \;  e^{c x^2}
\int {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 / 2\sigma^2}}\; dx= \frac{1}{2} (1 + \mbox{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}), где erf(…) — функция ошибок

Определённые интегралы[править | править исходный текст]

\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2\pm2bx+c}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{ac-b^2}{a}}

\int\limits_0^1 e^{x\cdot \ln a + (1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm{d}x =
 \int\limits_0^1 \left(\frac{a}{b}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm{d}x =
 \int\limits_0^1 a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm{d}x =
 \frac{a-b}{\ln a - \ln b} для a > 0,\ b > 0,\ a \ne b, что есть логарифмическое среднее
\int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}
\int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0) (интеграл Гаусса)
\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)
\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{2bx}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{a}} \quad (a>0)
\int\limits_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,\mathrm{d}x=b \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)
\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3} \quad (a>0)
\int\limits_{0}^{\infty} x^{n} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x = 
\begin{cases}
       \frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)/a^{\frac{n+1}{2}} & (n>-1,a>0) \\
       \frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k}\sqrt{\frac{\pi}{a}} & (n=2k, k \;\text{целое}, a>0) \\
       \frac{k!}{2a^{k+1}} & (n=2k+1,k \;\text{целое}, a>0)
\end{cases} (!! — двойной факториал)
\int\limits_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x = 
\begin{cases}
       \frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} & (n>-1,a>0) \\
       \frac{n!}{a^{n+1}} & (n=0,1,2,\ldots,a>0) \\
\end{cases}
\int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0)
\int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a}{a^2+b^2} \quad (a>0)
\int\limits_{0}^{\infty} xe^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{2ab}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)
\int\limits_{0}^{\infty} xe^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)
\int\limits_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x) (I_{0} модифицированная функция Бесселя первого рода)
\int\limits_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)
\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx, = \Gamma(s)\zeta(s) (Дзета-функция Римана)

Библиография[править | править исходный текст]

Книги
Таблицы интегралов
Вычисление интегралов