Функция ошибок

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции ошибок

Функция ошибок (функция Лапласа или интеграл вероятности) — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

.

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение ) определяется через функцию ошибок:

.

Комплексная функция ошибок, обозначаемая , также определяется через функцию ошибок:

.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Для любого комплексного выполняется

где черта обозначает комплексное сопряжение числа .

  • Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного [источник не указан 1673 дня], так и на всей комплексной плоскости. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

  • Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

поскольку  — сомножитель, превращающий -й член ряда в -й, считая первым членом .

  • Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:
  • При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка будет для неё существенно особой.
  • Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:
  • Обратная функция ошибок представляет собой ряд

где c0 = 1 и

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

[2]

Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Дополнительная функция ошибок

Применение[править | править вики-текст]

Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением , то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на , равна .

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение[править | править вики-текст]

При больших полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

Хотя для любого конечного этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

где

Родственные функции[править | править вики-текст]

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым

Обратная функция к , известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

Обобщённые функции ошибок[править | править вики-текст]

График обобщённых функций ошибок :
серая линия:
красная линия:
зелёная линия:
синяя линия:
жёлтая линия: .

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

Примечательными частными случаями являются:

  •  — прямая линия, проходящая через начало координат:
  •  — функция ошибок .

После деления на все с нечётными выглядят похоже (но не идентично). Все с чётными тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на . Все обобщённые функции ошибок с выглядят похоже на полуоси .

На полуоси все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок[править | править вики-текст]

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

Их можно разложить в ряд:

откуда следуют свойства симметрии

и

Реализации[править | править вики-текст]

В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок и дополнительная функция ошибок . Функции объявлены в заголовочных файлах math.h (для Си) или cmath (для C++). Там же объявлены пары функций erff(), erfcf() и erfl(), erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта «Boost».

В языке Java стандартная библиотека математических функций java.lang.Math не содержит[1] функцию ошибок. Класс Erf можно найти в пакете org.apache.commons.math.special из не стандартной библиотеки, поставляемой[2] Apache Software Foundation.

Системы компьютерной алгебры Maple[3], Matlab[4], Mathematica и Maxima[5] содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке Python функция ошибок доступна[3] из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy[6].

В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math[4].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (См. часть 7)
  • Nikolai G. Lehtinen «Error functions», April 2010 [7]

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]