Сходимость в Lp

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Сходи́мость в в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

Определение[править | править код]

Пусть  — пространство с мерой. Тогда пространство измеримых функций, таких что их -я степень, где , интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

.

Пусть дана последовательность . Тогда говорят, что эта последовательность сходится в к функции , если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

.

Пишут: . Иногда также используют обозначение — от англ.  «limit in mean» .

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин сходится к из того же пространства, если

.

Пишут: .

Терминология[править | править код]

  • Сходимость в пространстве называется сходимостью в среднем.
  • Сходимость в пространстве называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в [править | править код]

  • Единственность предела. Если и , то -почти всюду (-почти наверное).
  • Пространство полно. Если при , то существует , такой что .