Тензорное расслоение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тензорное расслоение типа на дифференцируемом многообразии  — векторное расслоение над , ассоциированное с расслоением касательных реперов и имеющее в качестве стандартного слоя пространство тензоров типа на , в котором группа действует при помощи тензорного представления. Например, совпадает с касательным расслоением над , a  — с кокасательным расслоением .

В общем случае тензорное расслоение изоморфно тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений:

Сами расслоения являются лишь основой для построения сечений тензорных расслоений типа , которые называются тензорными полями типа и являются основным объектом исследования дифференциальной геометрии. Так, например, риманова структура на  — это гладкое сечение расслоения , значения которого являются положительно определёнными симметрическими формами.

Гладкие сечения расслоения образуют модуль над алгеброй гладких функций на . Если  — паракомпактное многообразие, то

где  — модуль гладких векторных полей,  — модуль пфаффовых дифференциальных форм, а тензорные произведения берутся над .

В классической дифференциальной геометрии тензорные поля иногда называют просто тензорами на .

Литература[править | править вики-текст]

  • Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Новокузнецкий физико-математический институт, 1999. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0..
  • Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. — М.: Факториал Пресс, 2005. — 608 с. — (XX век. Математика и механика). — ISBN 5-88688-076-3..