Теорема Борсука — Улама

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Бо́рсука — У́лама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая -мерную сферу в -мерное евклидово пространство для некоторой пары диаметрально противоположных точек[en] имеет общее значение.

Формально, для непрерывной функции , где  — сфера в -мерном евклидовом пространстве, существуют такие две диаметрально противоположные точки , что .

Впервые утверждение встречается у Люстерника и Шнирельмана в работе 1930 года[1][2]; первое доказательство опубликовано в 1933 году Борсуком, в котором он атрибутировал формулировку утверждения Станиславу Уламу.

Эквивалентное утверждение — теорема об общем нуле: всякая нечётная (относительно диаметральной противоположности) непрерывная функция из -мерной сферы в -мерное евклидово пространство в одной из точек обращается в нуль: . Эквивалентность устанавливается введением для непрерывной функции нечётной функции . В одномерном случае теорема об общем нуле непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении; общее доказательство использует изоморфизм Гуревича[en] (алгебраико-топологический вариант), либо выводится из леммы Такера[en] (комбинаторный вариант; лемма Такера при этом считается комбинаторным аналогом теоремы Борсука — Улама).

Советским математиком Фетом установлено обобщение теоремы Борсука — Улама: утверждение имеет место не только для соотношения антиподов, но и для произвольной инволюции -мерной сферы, то есть, для всякой инволюции и любой непрерывной функции найдётся такая точка , что .

Неформально утверждение известно как «теорема о температуре и давлении»: в любой момент времени на поверхности Земли () найдутся антиподы с равной температурой и равным давлением[3]; одномерный случай обычно иллюстрируют двумя диаметрально противоположными точками экватора () с равной температурой.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Л. А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман Топологические методы в вариационных задачах // Труды Института математики и механики при МГУ (специальный выпуск). — 1930.
  2. Jiří Matoušek. Using the Borsuk–Ulam theorem. — Berlin: Springer Verlag, 2003. — ISBN 3-540-00362-2. — DOI:10.1007/978-3-540-76649-0
  3. О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология

Литература[править | править вики-текст]