Теорема Гельфонда — Шнайдера

Теорема Гельфонда—Шнайдера — теорема в теории чисел, которая устанавливает трансцендентность большого класса чисел и тем самым решает (утвердительно) Седьмую проблему Гильберта. Была доказана независимо в 1934 году советским математиком Александром Гельфондом^[1] и немецким математиком Теодором Шнайдером^[2].

Формулировка

Если $a,b$ — алгебраические числа, причём $a$ не ноль и не единица, а $b$ иррационально, то любое значение $a^{b}$ — трансцендентное число.

Эквивалентные формулировки для логарифмов (основание логарифма выбирается произвольно)^[3]:

Если $a,b$ — алгебраические числа, не равные нулю или единице, то $\log(b)/\log(a)$ — либо рациональное, либо трансцендентное число.

Если $\log(a),\log(b)$ линейно независимы над полем рациональных чисел, то они линейно независимы и над полем алгебраических чисел.

Про обобщение последней формулировки см. статью Теория трансцендентных чисел.

Значения $a,b$ могут быть не только вещественными, но и комплексными числами; поскольку комплексная степень многозначна, в формулировке особо подчёркнуто: любое значение.
Если убрать требование, чтобы $a,b$ были алгебраическими числами, теорема будет неверна. Пример:

{\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.

Из примера, с учётом теоремы, также очевидно, что

{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}

— трансцендентное число.

Из теоремы вытекает трансцендентность некоторых важных математических констант.

Постоянная Гельфонда — Шнайдера $2^{\sqrt {2}}$ и уже упомянутый выше квадратный корень из неё: ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.$
Постоянная Гельфонда $e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots$ , а также $i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{-\pi /2}=0.207879576\ldots .$

↑ Гельфонд А. О. Sur le septième problème de Hilbert // Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук. — М., 1934. — Вып. 4. — С. 623—634. Архивировано 9 августа 2018 года.
↑ Schneider, Theodor. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil 1,2, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, volume 172, 1934, pp. 65–69, 70-74.
↑ Фельдман.

Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. — М.: ГИТТЛ, 1952. — 224 с.
Трансцендентное число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. — М.: Изд-во МГУ, 1982. — 312 с.
Baker, Alan. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975. — ISBN 0-521-20461-5.
Lang, Serge. Introduction to Transcendental Numbers. — Addison–Wesley, 1966. — ISBN 0-521-20461-5.

Жуков А. Алгебраические и трансцендентные числа (неопр.). Дата обращения: 9 августа 2017.
Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа (неопр.). Дата обращения: 9 августа 2017.
A proof of the Gelfond–Schneider theorem
Hyun Seok, Lee. On Transcendence Theory with little history, new results and open problems (неопр.). Дата обращения: 9 августа 2017.
Waldschmidt, Michel (2001). Gel'fond-Schneider method // Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric W. Gelfond-Schneider Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.