Постоянная Гельфонда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Постоянная Гельфонда — трансцендентное число e^\pi (то есть e в степени π). Названа в честь Александра Осиповича Гельфонда. Доказательство трансцендентности этого числа — один из пунктов седьмой проблемы Гильберта.

Численное значение[править | править вики-текст]

Десятичное представление постоянной Гельфонда:

e^\pi \approx 23{,}140\,692\,632\,779\,269\,005\,729\,086\,367\,948\,547\,380\,266\,106\,242\,600\,211\,993\,445\,046\,409\,524\,342\,350\,690\,452\,783\,516\,971\,997\,067\,549\,219\,676\ldots

Его приближённые значения можно получать[1], используя рекуррентно определённую последовательность

k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}}, где  k_0 = \frac{1}{\sqrt{2}},

а именно следующее выражение:

e^\pi \approx \left(\frac{1}{4} k_n\right)^{-2^{1-n}}.

При этом сходимость таких приближений к e^{\pi} достаточно быстрая.

Численное значение постоянной также представимо в виде простой непрерывной дроби[2]: [23, 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, …].

Свойства[править | править вики-текст]

Тождество Эйлера:

(e^\pi)^i = -1

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Jonathan M. Borwein, David H. Bailey. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. — Wellesley, MA: AK Peters, 2003. — P. 137. — 350 p. — ISBN 978-1568812113.
  2. последовательность A058287 в OEIS

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]