Теорема Гюйгенса — Штейнера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Теорема Гюйгенса-Штейнера»)
Перейти к: навигация, поиск
Иллюстрация теоремы для момента площади

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера (теорема Гюйгенса, теорема Штейнера): момент инерции тела относительно произвольной неподвижной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями[1]:

где

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,
— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,
 — масса тела,
 — расстояние между указанными осями.

Теорема названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса.

Вывод[править | править вики-текст]

Будем рассматривать абсолютно твёрдое тело, образованное совокупностью материальных точек[2].

По определению момента инерции для и можно записать

где радиус-вектор точки тела в системе координат с началом, расположенным в центре масс, а — радиус-вектор точки в новой системе координат, через начало которой проходит новая ось.

Радиус-вектор можно расписать как сумму двух векторов:

где — радиус-вектор расстояния между старой (проходящей через центр масс) и новой осями вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид

Вынося за сумму, получим

По определению центра масс, для его радиус-вектора выполняется

Поскольку в системе координат с началом, расположенным в центре масс, радиус-вектор центра масс равен нулю, то равна нулю и сумма .

Тогда

откуда и следует искомая формула:

где — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Если тело состоит не из материальных точек, а образовано непрерывно распределённой массой, то во всех приведённых выше формулах суммирование заменяется интегрированием. Ход рассуждения при этом остаётся прежним.

Следствие. Из полученной формулы очевидно, что . Поэтому можно утверждать: момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, является наименьшим среди всех моментов инерции тела относительно осей, имеющих данное направление.

Пример[править | править вики-текст]

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью ) равен

Тогда, согласно теореме Штейнера, его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

где  — расстояние между искомой осью и осью . В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле :

Пересчёт тензора инерции[править | править вики-текст]

Теорема Гюйгенса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор относительно произвольной точки из тензора относительно центра масс. Пусть  — смещение от центра масс, тогда

где

 — вектор смещения от центра масс, а  — символ Кронекера.

Как видно, для диагональных элементов тензора (при ) формула имеет вид теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента относительно новой оси.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — 11-е изд. — М.: «Высшая школа», 1995. — С. 268—269. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
  2. Абсолютно твёрдое тело, образованное совокупностью материальных точек, — это такая механическая система, у которой расстояния между составляющими её точками постоянны.