Теорема Мура о факторпространстве

Теорема Мура о факторпространстве — классическое утверждение двумерной топологии, даёт достаточное условие на то, что факторпространство сферы гомеоморфно двумерной сфере.

Доказана Робертом Муром в 1925 году.

Формулировки

Пусть $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ — сюръективное непрерывное отображение двумерной сферы $\mathbb {S} ^{2}$ на хаусдорфово пространство $X$. Предположим, что для любой точки $x\in X$ прообраз $f^{-1}\{x\}$, а также его дополнение $\mathbb {S} ^{2}\backslash f^{-1}\{x\}$ связны. Тогда $X$ гомеоморфно $\mathbb {S} ^{2}$, более того отображение $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ есть предел гомеоморфизмов $f_{n}\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$.

Замечания

Эквивалентная формулировка теоремы даётся на языке отношения эквивалентности на $\mathbb {S} ^{2}$. Отображение $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ задаёт отношение эквивалентности $\sim$ на $\mathbb {S} ^{2}$, определяемое как

$x\sim y\iff f(x)=f(y).$

Классы эквивалентности $[x]=\{\,y\in \mathbb {S} ^{2}\mid x\sim y\,\}$ образуют полунепрерывное семейство замкнутых множеств. То есть, если $x_{n}\to x$, $y_{n}\to y$ и $x_{n}\sim y_{n}$ для любого $n$, тогда $x\sim y$.

• Если $\sim$ — отношение эквивалентности на $\mathbb {S} ^{2}$ с полунепрерывными замкнутыми классами эквивалентности такими и для любого $x$ множества $[x]$ и $\mathbb {S} ^{2}\backslash [x]$ связны, то фактор пространство $\mathbb {S} ^{2}/\sim$ гомеоморфно $\mathbb {S} ^{2}$.

Вариации и обобщения

В старших размерностях необходимым для существования близкого гомеоморфизма, сюръекция $f\colon M\to X$ из многообразия $M$ на хаусдорфово пространство $X$ должна быть клеточной. Это означает, что для любой точки $x\in X$ и любого открытого множества $U$, содержащего прообраз $f^{-1}\{x\}$, можно найти замкнутое множество $B$, гомеоморфное шару, такое что $f^{-1}\{x\}\subset B\subset U$.

Литература

• R. L. Moore. Concerning upper-semicontinuous collections of continua (англ.) // Trans. Amer. Math. Soc.. — 1925. — Vol. 25. — P. 416–428.
• Daverman, Robert J. Decompositions of manifolds. — Orlando, FL: Academic Press, Inc., 1986. — xii+317 с. — (Pure and Applied Mathematics, 124). — ISBN 978-0-8218-4372-7.