Теорема Уитни о вложении

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в -мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Этот результат оптимален, например, если  — степень двойки, то -мерное проективное пространство невозможно вложить в -мерное евклидово пространство.

Схема доказательства[править | править код]

Случаи и устанавливаются напрямую.

Для доказательства случая используется факт, что гладкое отображение общего положения является погружением с конечным количеством точек трансверсального самопересечения.

Избавиться от этих точек самопересечени можно, несколько раз применив трюк Уитни. Он состоит в следующем. Возьмем точки самопересечения отображения , имеющие разные знаки. Возьмем точки , для которых и . Соединим и гладкой кривой . Соединим и гладкой кривой . Тогда есть замкнутая кривая в . Далее построим отображение с границей . В общем положении, является вложением и (как раз здесь используется то, что ). Тогда можно изотопировать в маленькой окрестности диска так, чтобы эта пара точек самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку для (в которой свойства диска оказались выполнены случайно, а не по общему положению). Аккуратное доказательство приведено в пункте 22.1 книги Прасолова [1].

Приведем набросок другого способа избавиться от точек самопересечения отображения общего положения . Он основан на важной идее поглощения. (Иногда данное применение этой другой идеи ошибочно называют трюком Уитни.) Возьмем точку самопересечения отображения . Возьмем точки , для которых . Соединим и гладкой кривой . Тогда есть замкнутая кривая в . Далее построим отображение с границей . В общем положении, является вложением и (как раз здесь используется то, что ). Теперь можно изотопировать в маленькой окрестности диска так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. См. детали и обобщения в книге Рурке и Сандерсона [2] и параграфе 8 обзора Скопенкова [3]. Это рассуждение обычно проводят в кусочно-линейной категории. В гладкой же категории (как здесь) для последней деформации нужно использовать теорему Хефлигера о незаузленности сфер (см. [1]).

Вариации и обобщения[править | править код]

Пусть есть гладкое -мерное многообразие, .

  • Если не является степенью двойки, тогда существует вложение в
  • может быть погружено в
    • Более того может быть погружено в , где есть число единиц в двоичном представлении .
      • Последний результат оптимален, для любого можно можно построить -мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в .

См. также [4] [5]

Примечания[править | править код]

  1. В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий
  2. C.P. Rourke, B.J. Sanderson, Introduction into piecewise-linear topology, Springer, 1972.
  3. Skopenkov, A. (1999), "New Results on embedding of polyhedra and manifolds in Euclidean spaces", Russian Math. Surveys Т. 54 (6): 1149-1196 
  4. Skopenkov, A. (2008), "Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces", in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes. Т. 347 (2): 248—342, ISBN 13, <http://arxiv.org/abs/math/0604045> 
  5. Классификация вложений (англ.)