Теорема Уитни о вложении

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Уитни о вложении утверждает что

Произвольное гладкое -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в -мерное евклидово пространство.

Этот результат оптимален, например, если  — степень двойки, то -мерное проективное пространство невозможно вложить в -мерное евклидово пространство.

О доказательстве[править | править вики-текст]

Случаи и «делаются руками». В случае легко видеть, что гладкое отображение общего положения является погружением с трансверсальными самопересечениями. Избавиться от этих самопересечений можно, несколько раз применив трюк Уитни:

Трюк Уитни[править | править вики-текст]

Пусть есть точка самопересечения и такие, что . Соединим и гладкой кривой Тогда есть замкнутая кривая в . Построим отображение с границей .

В общем положении, является вложением (как раз здесь мы используем то, что ). Тогда можно продеформировать многообразие вдоль вложенного диска так, чтобы точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Пусть есть гладкое -мерное многообразие, .

  • Если не является степенью двойки, тогда существует вложение в
  • может быть погружено в
    • Более того может быть погружено в , где есть число единиц в двоичном представлении .
      • Последний результат оптимален, для любого можно можно построить -мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в .

Литература[править | править вики-текст]