Теорема котангенсов

Общий вид треугольника

В тригонометрии, теорема котангенсов связывает радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.

Пусть a, b и c — длины трёх сторон треугольника, $\alpha ,\beta$ и $\gamma$ — это углы, лежащие напротив, соответственно, сторон a, b и c.

Теорема котангенсов утверждает, что если

$r={\sqrt {{\frac {1}{p}}(p-a)(p-b)(p-c)}}$ (радиус вписанной окружности треугольника) и

$p={\frac {a+b+c}{2}}$ (полупериметр треугольника),

то справедливы следующие формулы:

$\mathrm {ctg} {\frac {A}{2}}={\frac {p-a}{r}}$

$\mathrm {ctg} {\frac {B}{2}}={\frac {p-b}{r}}$

$\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}={\frac {p-c}{r}}$

отсюда следует, что

${\frac {p-a}{\mathrm {ctg} (A/2)}}={\frac {p-b}{\mathrm {ctg} (B/2)}}={\frac {p-c}{\mathrm {ctg} (C/2)}}=r$

Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен отношению полупериметра минус длина противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.

В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.

См. также

• Решение треугольников
• Теорема косинусов
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Формула Герона
• Формулы Мольвейде