Теорема синусов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Стандартные обозначения

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

и расширенная теорема синусов:

Для произвольного треугольника

где , ,  — стороны треугольника,  — соответственно противолежащие им углы, а  — радиус окружности, описанной около треугольника.


Доказательства[править | править вики-текст]

Доказательство обычной теоремы синусов[править | править вики-текст]

Воспользуемся только определением высоты треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов:

. Следовательно, , что и требовалось доказать. Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной (не расширенной) теоремы синусов.

Доказательство расширенной теоремы синусов:[править | править вики-текст]

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • В треугольнике против бо́льшего угла лежит большая сторона, против бо́льшей стороны лежит больший угол.
  • Стороны треугольника пропорциональны лишь синусам его внутренних углов, но не пропорциональны величинам самих углов. К примеру, в прямоугольном треугольнике с острыми углами 30° и 60°
    больше в 2 раза: 1 : 1/2 = 2, гипотенуза больше катета, лежащего против угла 30°, также в 2 раза. Но угол 90° будет больше угла 30° в 3 раза.
  • В симплексе
где  — угол между гранями и ;  — общая грань и ;  — объем симплекса.

История[править | править вики-текст]

  • В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется[1].
  • Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке[2].
  • Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке[3]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере[4].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991. — P. 47
  2. Berggren J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859.
  3. Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in Selin, Helaine & D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1402002602 
  4. Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani