Теорема синусов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Стандартные обозначения

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

и расширенная теорема синусов:

Для произвольного треугольника

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R,

где a, b, c — стороны треугольника, \alpha, \beta,  \gamma — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус окружности, описанной около треугольника.


Другое доказательство обычной (не расширенной) теоремы синусов[править | править вики-текст]

Воспользуемся только определением высоты  h_b треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов:

 h_b=a \sin \gamma= c \sin \alpha . Следовательно, \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}, что и требовалось доказать. Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной (не расширенной) теоремы синусов.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • В треугольнике против бо́льшего угла лежит большая сторона, против бо́льшей стороны лежит больший угол.
  • Стороны треугольника пропорциональны лишь синусам его внутренних углов, но не пропорциональны величинам самих углов. К примеру, в прямоугольном треугольнике с острыми углами 30° и 60°
     \sin 90^\circ больше  \sin 30^\circ в 2 раза: 1 : 1/2 = 2, гипотенуза больше катета, лежащего против угла 30°, также в 2 раза. Но угол 90° будет больше угла 30° в 3 раза.
  • В симплексе V_n=\frac{n-1}{n}\frac{{V_{n-1}^i}{V_{n-1}^j}}{V_{n-2}^{i,j}} {sin ({A_{i,j}})}
где  A_{i,j}  — угол между гранями  V_{n-1}^i и  V_{n-1}^j ; V_{n-2}^{i,j} — общая грань  V_{n-1}^i и  V_{n-1}^j ; V_n — объем симплекса.

История[править | править вики-текст]

  • В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется[1].
  • Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке[2].
  • Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке[3]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере[4].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Florian Cajori, A History of Mathematics, 5th edition 1991, p. 47
  2. Berggren J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859.
  3. Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) «Islamic mathematics» pp. 137— , page 157, in Selin, Helaine & D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1402002602 
  4. Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani