Теорема о разностях

Теорема о разностях — теорема, связывающая понятия производной и прямой конечной разности высших порядков для степенной функции натурального показателя степени.

Теорема

Теорема о разностях утверждает, что для любой степенной функции с натуральным показателем степени справедливо равенство производной и конечной разности порядка, равного показателю степени и равняется показателю степени под знаком факториала.

Доказательство

Рассмотрим степенную функцию вида $f(x_{i})=x_{i}^{n},\ x_{i}=i\cdot \Delta x,\ \Delta x=x_{i+1}-x_{i}$, где $i,\ n$ — натуральные числа. Прямая конечная разность порядка $n$ для такой функции равняется:

${\frac {\Delta ^{n}(x_{i}^{n})}{(\Delta x)^{n}}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}\cdot {\big (}i+n-k{\big )}^{n}=n!$

По определению производной, для функции вида $f(x)=x^{n}$ имеем производную порядка $n$: $f^{(n)}(x)=n!$. Таким образом, соблюдается равенство ${\frac {d^{n}(x^{n})}{dx^{n}}}={\frac {\Delta ^{n}(x_{i}^{n})}{(\Delta x)^{n}}}=n!$

Литература

• Richardson, C. H. (1954): An Introduction to the Calculus of Finite Differences (New York: Van Nostrand, 1954) online copy
• Jordan, Charles (1939/1965). «Calculus of Finite Differences», Chelsea Publishing. On-line: 1

См. также

• Конечные разности
• Метод конечных разностей;
• Интерполяционные формулы Ньютона;
• Разделенная разность;
• Биномиальные преобразования.