Метод конечных разностей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом.

Основные понятия[править | править вики-текст]

  • Шаблон — это множество точек с помощью которых аппроксимируются производные.
  • Разностная схема

Метод конечных разностей для решения эллиптических задач[править | править вики-текст]

Для решения эллиптической задачи методом конечных разностей на расчётной области строится сетка, затем выбирается разностная схема и для каждого узла сетки записывается разностное уравнение (аналог исходного уравнения, но с использованием разностной схемы), затем производится учёт краевых условий (для краевых условий второго и третьего рода так же строится некоторая разностная схема). Получается система линейных алгебраических уравнений, решая которую в ответе получают приближенные значения решения в узлах.
Главной проблемой метода является построение правильной разностной схемы, которая будет сходиться к решению. Построение схемы выполняется исходя из свойств исходного дифференциального оператора.

Сравнение с методом конечных элементов[править | править вики-текст]

Другой метод решения эллиптических задач — метод конечных элементов, имеет как преимущества, так и недостатки перед методом конечных разностей.

Преимущества МКР Преимущества МКЭ
  • Для простых задач построение разностной схемы выполняется быстрее
  • Метод является проекционным, то есть устойчив
  • Позволяет работать с геометрически более сложными областями
  • Решение сразу представляет собой функцию и значения в любой точке могут быть вычислены сразу (в МКР предварительно нужно построить сплайн)

Пример[править | править вики-текст]

Пусть дана одномерная эллиптическая задача:



Построим сетку с постоянным шагом . Для аппроксимации выберем трёхточечный шаблон, то есть для аппроксимации производной в точке будем использовать точки . Тогда разностное уравнение будет выглядеть следующим образом:


Учитывая краевые условия, система линейных уравнений вида , для нахождения решения, будет выглядеть следующим образом:

.

Метод конечных разностей для решения нестационарных задач[править | править вики-текст]

Решение задач методом конечных разностей, когда процесс изменяется во времени, представляет собой итерационный процесс — на каждой итерации мы находим решение на новом временном слое. Для решения таких задач используются явные, неявные схемы и предиктор-корректор (пара из специально подобранных явной и неявной схемы). Явные схемы и схемы предиктор-корректор просто пересчитывают значение, используя информацию с предыдущих временных слоёв, использование неявной схемы приводит к решению уравнения (или системы уравнений).
Для параболических и гиперболических уравнений часто прибегают к смешиванию методов — производные по времени аппроксимируют с помощью разностной схемы, а оператор по пространству аппроксимируется с помощью конечноэлементной постановки[1].

Пример решения обыкновенного дифференциального уравнения[править | править вики-текст]

Пусть дано уравнение с начальным условием . Для решения воспользуемся следующими разностными схемами:

  • Явная схема Эйлера . Разностное уравнение: .
  • Неявная схема Эйлера . Разностное уравнение: .

С шагом . Точным решением является экспонента:

При уменьшении шага точность метода увеличивается. Поскольку исходное уравнение — это линейное дифференциальное уравнение, то и для неявной схемы тоже получилось линейное уравнение, из которого можно выразить (что и было сделано) решение.

Пример решения параболического уравнения[править | править вики-текст]

Этот пример демонстрирует, как совмещаются конечноэлементные постановки и разностные схемы. Пусть дано параболическое уравнение:



Для аппроксимации по времени, используя неявную схему Эйлера, получим:



Поскольку значение на предыдущем слое уже известно, то, при перенесении его в правую часть, получается эллиптическое уравнение относительно :



Для решения данного уравнения можно применить метод Галёркина, тогда полученная СЛАУ будет иметь следующий вид:

.

Здесь:  — матрица жесткости,  — матрица массы,  — вектор, связный с правой частью исходного уравнения,  — вектор весов базисных функций на слое с номером .

Однако, решение по пространству можно искать также и с помощью разностной схемы, аналогично показанному выше примеру.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — Москва: Наука, 1978. — 592 с.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.