Степенная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Степенна́я фу́нкция — функция , где (показатель степени) — некоторое вещественное число[1]. К степенным часто относят и функцию вида , где k — некоторый (ненулевой) коэффициент[2]. Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Вещественная функция[править | править код]

Область определения[править | править код]

Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при . Если , то функция определена также и при , иначе ноль является её особой точкой.

Рациональный показатель степени[править | править код]

Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: (полукубическая парабола).

Графики функций y = bx с различными основаниями b:                      основание: 10                      основание: e                      основание: 2                      основание: 12 Каждая кривая проходит через точку (0, 1).

Свойства[править | править код]

См. также: Возведение в степень
  • Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Ноль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция определена в нуле и его правой окрестности, но её производная в нуле не определена.
  • В интервале функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при Значения функции в этом интервале положительны.
  • Производная функции:
  • Неопределённый интеграл:
    • Если , то
    • При получаем:

Список функций малых степеней[править | править код]

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2,187 6,561 19,683 59,049
4 16 64 256 1024 4,096 16,384 65,536 262,144 1,048,576
5 25 125 625 3125 15,625 78,125 390,625 1,953,125 9,765,625
6 36 216 1296 7,776 46,656 279,936 1,679,616 10,077,696 60,466,176
7 49 343 2401 16,807 117,649 823,543 5,764,801 40,353,607 282,475,249
8 64 512 4096 32,768 262,144 2,097,152 16,777,216 134,217,728 1,073,741,824
9 81 729 6561 59,049 531,441 4,782,969 43,046,721 387,420,489 3,486,784,401
10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000 100,000,000 1,000,000,000 10,000,000,000


Комплексная функция[править | править код]

Степенная функция комплексного переменного z в общем виде определяется формулой[3]:

Здесь показатель степени c — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение равно где k — произвольное целое, а его главное значение есть

Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

  1. При натуральном показателе степени функция однозначна и n-листна[4].
  2. Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь , то у функции будет q различных значений[3].

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций..
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
  3. 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527..
  4. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 88. — 304 с.