Задача Неймана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Зада́ча Не́ймана, вторая краевая задача — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два типа: внутренние и внешние. Названа в честь Карла Неймана.

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Внутренняя задача Неймана ставится следующим образом: в области найти функцию , удовлетворяющую следующим условиям:

в области

где  — оператор Лапласа,  — внешняя единичная нормаль к границе области .

На неограниченных областях (внешняя задача Неймана) в постановке задачи добавляется дополнительное условие ограниченности на бесконечности искомой функции . Решение внешней задачи Неймана в пространстве размерности единственно, если на бесконечности функция . В двумерном случае решение может быть найдено с точностью до константы, если выполняется условие (*).

В общем случае второй краевой задачей, называют задачу решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных с заданным поведением производной на границе.

Условие разрешимости[править | править вики-текст]

Из теории потенциала известно, что необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана является выполнение равенства

при этом решение внутренней задачи Неймана может быть найдено лишь с точностью до константы.[1]

Физическая интерпретация[править | править вики-текст]

Для уравнений различных процессов вторые краевые задачи, в отличие от первых, задаются и интерпретируются по разному, например:

  • Для уравнения теплопроводности задаются в виде , что интерпретируется как тепловой поток на границе области.
  • Для уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, например для уравнение относительно вектора интерпретируется как магнитное поле на границе. Такие условия называются магнитными краевыми условиями. Для вектора интерпретируется как электрическое поле на границе и называются электрическими краевыми условиями. В случае скалярного уравнения задаются как: , в векторном случае: [2].

Аналитическое решение[править | править вики-текст]

Аналитическое решение для задачи Неймана можно выразить с помощью функции Грина:

,

где  — функция Грина для оператора Лапласа в области .

Вторые краевые условия в численных методах[править | править вики-текст]

При решении задачи различными численными методами вторые краевые условия учитываются по разному:

  • В методе конечных разностей производная аппроксимируется специальной разностной схемой, на той же сетке и полученное уравнение добавляется к общей системе
  • В методе конечных элементов вторые краевые учитываются в вариационной постановке и являются добавками в правую часть уравнения: , где  — правая часть уравнения,  — часть границы, на которых заданы вторые краевые, -я базисная функция[2].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • В.М. Уроев. Уравнения математической физики. — М.: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. М. М. Смирнов. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. — Москва: Наука, 1964.
  2. 1 2 Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.