Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Лиуви́лля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема Лиувилля гласит

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Теорема утверждает сохранение во времени фазового объёма, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Уравнение Лиувилля[править | править вики-текст]

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в -мерном фазовом пространстве ( — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами и сопряжёнными импульсами , где   . Тогда распределение в фазовом пространстве    определяет вероятность    того, что система будет находиться в элементе объёма    своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

где  — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым, описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

где  — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Геометрическая интерпретация[править | править вики-текст]

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем —  — но сжимается по другой координате так, что произведение остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объём) не изменяется.

Более точно, фазовый объём сохраняется при сдвигах времени. Если

и множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество в момент времени , тогда

для всех времён . Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике — это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Физическая интерпретация[править | править вики-текст]

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил с координатами и импульсами , теорему Лиувилля можно записать в виде

где  — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана, и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил .

В классической статистической механике число частиц велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения равна любой функции гамильтониана , например, в распределении Максвелла-Больцмана , где  — температура,  — постоянная Больцмана.

Смотрите также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль.

Запись через скобку Пуассона[править | править вики-текст]

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах вид

уравнение Лиувилля для гамильтоновых систем приобретает вид

Запись с использованием оператора Лиувилля[править | править вики-текст]

При помощи оператора Лиувилля

для гамильтоновых систем уравнение приобретает вид

Замечания[править | править вики-текст]

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана и описывает эволюцию квантовых состояний гамильтоновых систем.
  • Предположение о несжимаемости фазового потока, то есть выполнение условия
  
является существенным. В общем случае произвольной динамической системы
     
уравнение для эволюции во времени плотности    распределения частиц в фазовом пространстве получается из уравнения баланса
  
        
(последнее соотношение — это масштабирование элемента фазового объёма при бесконечно малом перемещении вдоль фазовой траектории). Итоговое уравнение имеет вид
(см. также Уравнение Фоккера — Планка), и в случае    совпадает с уравнением Лиувилля.

См. также[править | править вики-текст]