Тождество Бохнера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тождество Бохнера — общее название семейства тождеств в римановой геометрии связывающие лапласианы разных типов и кривизну. Тождества получаемыe интегрированием тождества Бохнера иногда называются тождествами Рейли.

Формулировка[править | править код]

Пусть есть расслоение Дирака над римановым многообразием ,  — соответствующий оператор Дирака, и тогда

для любого сечения .

Обозначения[править | править код]

Далее обозначает ортонормированный репер в точке.

  • обозначает связность на , и
так называемый лапласиан по связности.
  •  — сечение , определяемое как
где «» обозначает умножение Клиффорда, и
суть преобразование кривизны.
  •  — оператор Дирака на , то есть
и лапласиан Ходжа на дифференциальных формах

Следствия[править | править код]

  • Из тождества Бохнера для градиента функции посучаем следующую интегральную формулу для лыбого замкнутого многообразия
    ,
где обозначает гессиан .
  • Если  — гармоническая функция, то
    ,
где обозначает градиент . В частности:
  • Компактные многообразия с положительной кривизной Риччи не допускают ненулевых гармонических функций.
  • Если  — гармоническая функция на многообразии с положительной кривизной Риччи, то функция субгармоническая.
  • Если многообраззие имеет положительный оператор кривизны, то при . Значит из формулы Бохнера следует, что на компактных многообразиях с положительным оператором кривизны отсутствуют гармонические формы любой степени, то есть оно является рационально гомологической сферой.
    • Другим методом, а именно потоком Риччи, удалось доказать что любое такое многообразие диффеоморфно фактору сферы по конечной группе.[1]

Примечания[править | править код]

  1. B. Wilking, C. Böhm. Manifolds with positive curvature operators are space forms (англ.) // Ann. of Math. (2). — 2008. — Vol. 167, no. 3. — P. 1079–1097.

Литература[править | править код]

  • H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.