Алгебра Клиффорда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей   над некоторым коммутативным кольцом   (Е — векторное пространство, в дальнейшем обобщении — свободный K-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на E билинейной формой .

Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства EK и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Пусть   — коммутативное кольцо с единицей,   — свободный K-модуль,  — квадратичная форма на  . Алгеброй Клиффорда квадратичной формы (или пары ) называется факторалгебра тензорной алгебры , -модуля по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида

Элементы (векторы) из , являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы , причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:

.

Комментарий[править | править вики-текст]

Если есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда линейное пространство, а в качестве используется присущее такому пространству скалярное произведение.

Примеры вещественных и комплексных алгебр[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

антикоммутатор
где — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:
  • Для нулевой квадратичной формы  алгебра  совпадает со внешней алгеброй  -модуля .
  • Пусть — некоторый базис -модуля , тогда элементы вида
    для всех k от 1 по n) или, иначе: где образуют базис -модуля . В частности, является свободным -модулем ранга (размерности)
    • Если, кроме того, ортогональны относительно , то можно задать как -алгебру с образующими и определяющими соотношениями , () и .
  • Алгебра Клиффорда обладает Z2-градуировкой. В частности, подмодуль в , порождённый произведениями чётного числа элементов из , образует подалгебру в , которая обозначается через .
  • Пусть — поле и квадратичная форма невырождена
    • тогда при чётном n алгебра является центральной простой алгеброй над  размерности , подалгебра сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над .
  • Если алгебраически замкнуто, то
    • при чётном n матричная алгебра, a — произведение двух матричных алгебр,
    • при нечётном n, наоборот, — матричная, а — произведение двух матричных алгебр.

Матричные представления алгебр Клиффорда[править | править вики-текст]

Уравнение Дирака — важный пример применения представлений CL_3,1(ℝ), которые впервые изучены Этторе Майорана.

Ссылки[править | править вики-текст]