Тождество четырёх квадратов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Тождество Эйлера (кватернионы)»)
Перейти к: навигация, поиск

Тождество Эйлера о четырёх квадратах — математическая теорема о том, что

произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.

Действительно:

Тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца, однако если и  — действительные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:

.

Аналогичные тождества[править | править вики-текст]

  • «тождество одного квадрата»
означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей:
,
означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:
,

Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.

Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато есть схожая (для квадратов при любом натуральном N) существенно иная форма, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — по теореме А. Пфистера.[1]

История[править | править вики-текст]

Тождество было выведено Эйлером в 1750 году. Это было сделано почти за 100 лет до появления кватернионов.

Тождество Эйлера было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырёх квадратов.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. См., например: В. В. Прасолов. Многочлены Гл.7 (п.23.2)