Точка Ферма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Построение точки Ферма для треугольников с углами, не превосходящими 120°.

Точка Ферма — точка плоскости, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной. Точку Ферма также иногда называют точкой Торричелли или точкой Ферма-Торричелли. Точка Ферма даёт решение проблемы Штейнера для вершин треугольника.

История[править | править вики-текст]

Точка Ферма впервые предложена Ферма: "Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectæ ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minima quantitas". P. de Fermat, «Œuvres de Fermat», 1679, Livre I, Paris.(лат. "Для трех заданных точек найти четвертую, такую что если от нее провести прямые линии до данных точек, сумма расстояний будет наименьшей". П. Ферма).

Построение[править | править вики-текст]

Теорема (Э. Торричелли, Б. Кавальери, Т. Симпсон, Ф. Хейнен, Ж. Бертран). Построим на сторонах произвольного треугольника ABC вне его равносторонние треугольники ABC', BCA', CAB'. Тогда шесть кривых — три окружности, описанные вокруг этих правильных треугольников, и прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке X. Если все углы треугольника ABC не превосходят 120°, то X лежит в треугольнике ABC и является точкой Ферма S. В этом случае углы между отрезками AS, BS и CS равны между собой и, значит, равны 120°. Более того, длины отрезков AA', BB' и CC', называемых линиями Симпсона, тоже равны между собой и равны AS + BS + CS. Если один из углов треугольника ABC больше 120°, то X лежит вне треугольника ABC, а точка Ферма S совпадает с вершиной тупого угла.

Теорема дает алгоритм построения точки Ферма с помощью циркуля и линейки. В нетривиальном случае, когда все углы треугольника меньше 120°, точку Ферма находят как пересечение любых двух из шести кривых, описанных в теореме.

Экспериментальное построение точки Ферма.

Физически эту точку можно построить так: отметим на плоской гладкой горизонтальной поверхности точки A, B и C и просверлим в отмеченных местах сквозные отверстия; свяжем три нити и пропустим сверху их свободные концы через отверстия; привяжем к свободным концам грузики одинаковой массы; когда система придет в равновесие, узел окажется в точке Ферма для треугольника ABC.

Точка Торричелли[править | править вики-текст]

Точка Торричелли — точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120°. Существует только в треугольниках с углами меньшими 120°, при этом, она единственна и, значит, совпадает с точкой Ферма.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Энциклопедия для детей / Глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 2001. — Т. 11. Математика. — 688 с.
  • А. О. Иванов, А. А. Тужилин. Теория экстремальных сетей. — Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — ISBN 5-93972-292-X.

Ссылки[править | править вики-текст]