Замечательные точки треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника. Другие замечательные точки треугольника см. в энциклопедии центров треугольника.

Примеры[править | править код]

Центроид — точка пересечения медиан
Ортоцентр — точка пересечения высот

Замечательными точками треугольника являются

Минимаксные точки треугольника[править | править код]

Минимаксными (экстремальными) точками треугольника называются точки, в которых достигается минимум некоторой функции, например, суммы степеней расстояний до сторон или вершин треугольника[1].

Минимаксными точками треугольника являются:

  • Точка пересечения трех медиан, имеющая наименьшую сумму квадратов расстояний до вершин треугольника (теорема Лейбница).
  • Точка пересечения трех медиан треугольника является единственной точкой треугольника такой, что проведенные через неё три чевианы разделяют своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. При этом произведение длин трех из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально[2]
  • Точка Торричелли (первая), имеющая наименьшую сумму расстояний до вершин треугольника с углами не более 120 градусов.
  • точка Лемуана, имеющая наименьшую сумму квадратов расстояний до сторон треугольника.
  • Основания высот остроугольного треугольника образуют ортотреугольник, имеющий наименьший периметр из всех треугольников, вписанных в данный треугольник.

Изо-точки и изо-прямые треугольника[править | править код]

Изо-точками являются точки треугольника, дающие какие-либо равные параметры трех треугольников, которые образуются при соединении изо-точки отрезками с тремя вершинами треугольника[3]. В результате образуется фигура типа «глаз дракона» (см. рис.)

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «глаз дракона»[править | править код]

Глаз дракона

Изо-точками треугольника такого типа являются:

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Трилистник (узел)»[править | править код]

Трилистник(узел)
Стилизованный трилистник (узел)

Изо-точками треугольника такого типа являются (см. рис.):

  • Центр Шпикера S является точкой пересечений прямых AX, BY и CZ, где XBC, YCA и ZAB подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ABC снаружи, имеющие один и тот же угол у основания [4].
  • Первая точка Наполеона , как и центр Шпикера, является точкой пересечений прямых AX, BY и CZ, где XBC, YCA и ZAB подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ABC снаружи, имеющие один и тот же угол у основания 30 градусов.

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Цветок традесканции»[править | править код]

Цветок традесканции
Стилизованный цветок традесканции

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Цветок традесканции» (см. рис.) следующие:

  • точка пересечения медиан образует тремя малыми отрезками чевиан три четырёхугольника с равными площадями.
  • точка пересечения биссектрис образует тремя перпендикулярами к трем сторонам треугольника три четырехугольника-дельтоида с двумя одинаковыми у всех смежными сторонами. Другая пара равных смежных сторон в общем случае у всех разная. У всех трех дельтоидов есть пара равных противоположных углов в 90 градусов. Они — вписанно-описанные четырёхугольники.
  • Три окружности, проведенные внутри треугольника через точку Микеля, пересекают стороны треугольника в трех точках. Три хорды, проведенные через точку Микеля и три точки пересечения трех окружностей с тремя разными сторонами треугольника, образуют равные углы со сторонами.

Другие изо-точки треугольника[править | править код]

Изо-точками треугольника такого типа являются:

  • точка Лемуана (точка равных антипараллелей) — точка обладающая свойством: проведенные через неё 3 антипараллели (линии, антипараллельные 3 сторонам треугольника) дают внутри треугольника 3 отрезка равной длины.
  • точка равных параллелей (Equal Parallelians Point)[5]. В некотором смысле аналогична точке Лемуана. Точка обладает свойством: проведенные через неё 3 параллели (линии, параллельные 3 сторонам треугольника) дают внутри треугольника 3 отрезка равной длины.
  • точки Скутина — точки равных чевиан треугольника. Теорема Скутина утверждает, что три отрезка прямых или чевианы, проведенные внутри треугольника через три его вершины и через любой фокус описанного эллипса Штейнера, равны между собой. Эти фокусы часто называют точками Скутина.

Изо-прямые[править | править код]

Изо-прямыми (изо-линиями) треугольника являются прямые, которые разрезают данный треугольник на два треугольника, имеющие какие-либо равные параметры[3]. Изо-прямыми треугольника являются:

  • Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам и разрезает треугольник на два треугольника с равными площадями.
  • Биссектриса (Биссектор) треугольника делит пополам угол, из вершины которого она выходит.
  • Высота треугольника пересекает противоположную сторону (или её продолжение) под прямым углом (то есть образует два равных угла со стороной по обе стороны от неё) и разрезает треугольник на два треугольника с равными (прямыми) углами.
  • Симедиана — геометрическое место точек внутри треугольника, выходящее из одной вершины, дающее два равных отрезка, антипараллельных двум сторонам, пересекающимся в этой вершине, и ограниченных тремя сторонами.
  • Кливер треугольника разбивает периметр пополам. Кливер треугольника — это отрезок, один конец которого находится в середине одной из сторон треугольника, второй конец находится на одной из двух оставшихся сторон. Кроме того, кливер параллелен одной из биссектрис угла. Каждый из кливеров проходит через центр масс периметра треугольника ABC, так что все три кливера пересекаются в центре Шпикера.
  • Также разбивает периметр пополам отрезок, соединяющий точку касания стороны треугольника и вневписанной окружности с вершиной, противоположной данной стороне. Три таких отрезка треугольника, проведенные из трех его вершин, пересекаются в точке Нагеля. Иными словами, этот отрезок есть чевиана точки Нагеля. (Чевиану точки Нагеля в английской литературе иногда называют сплиттером (splitter) или делителем пополам периметра. К сплиттеру они относят и кливер).
  • Эквалайзер (equalizer) или уравниватель (выравниватель) — отрезок прямой, разрезающий треугольник на две фигуры одновременно равных площадей и периметров[6]
  • Немного об эквалайзере (equalizer). Любая прямая (эквалайзер), проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна.[7]

Замечание об изо-прямых треугольника[править | править код]

В английской литературе вводится понятие бисекции (Bisection), как разделение чего-либо на две равные части. Например равнобедренного треугольника на два равных, отрезка прямой на два равных, плоского угла на два равных. Соответствующие линии будут являться частным случаем изо-прямых (изо-линий) треугольника.

Прямые n[править | править код]

Важным частным случаем изо-прямых являются так называемые прямые n треугольника. Прямая n треугольника, исходящая из его вершины, делит противоположную сторону в отношении n-х степеней прилежащих к ней двух сторон[8]. Важными частными случаями прямых n являются:

Для прямых n треугольника очень просто найти в общем виде некоторые свойства. Например, для прямой n изогонально сопряженной будет прямая (2-n), а изотомически сопряженной будет прямая минус n.

Замечание[править | править код]

Барицентрические координаты центра, записанные через стороны (или тригонометрические функции углов) треугольника, дают возможность перевести многие задачи о центрах треугольника на алгебраический язык. Например, выяснить, задают ли два определения один и тот же центр или лежат ли три данных центра на одной прямой.

Можно использовать и трилинейные координаты центра, очень просто связанные с барицентрическими координатами. Однако, например, изогонально сопряженные точки в трилинейных координатах выражаются проще.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Рассматривают пары центров. Например
    • точки Брокара.
    • Точки Аполлония. Для всякого невырожденного треугольника АВС можно построить окружность Аполлония к стороне АВ, проходящую через точку С. Окружности, построенные таким образом к трём сторонам, будут пересекаться в двух точках — внутренней и внешней Аполлония соответственно.

Недавно открытые точки (центры) треугольника[править | править код]

Основной источник: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/index.html

Примечания[править | править код]

  1. Стариков, В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 97.
  2. Зетель, С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М. : Учпедгиз, 1962. задача на с. 12.
  3. 1 2 Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические нау-ки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37, левая колонка, последний абзац
  4. Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  5. Equal Parallelians Point
  6. Kodokostas, Dimitrios (2010), "Triangle equalizers", Mathematics Magazine Т. 83 (2): 141–146, DOI 10.4169/002557010X482916 .
  7. Dimitrios Kodokostas Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April. — С. 141—146..
  8. Зетель, С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М. : Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграфы 109—113.
  9. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/yffcc.html
  10. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html
  11. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/mitten.html
  12. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/ajmalf.html
  13. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/apollon.html
  14. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/bailey.html
  15. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/hofstad.html
  16. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/conisos.html
  17. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/morley.html
  18. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/parry.html
  19. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/isoper.html
  20. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/eqparal.html
  21. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/schiff.html
  22. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/exeter.html

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]