Замечательные точки треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника.

Примеры[править | править вики-текст]

Центроид — точка пересечения медиан
Ортоцентр — точка пересечения высот

Замечательными точками треугольника являются

Минимаксные точки треугольника[править | править вики-текст]

Минимаксными точками треугольника назовем точки, имеющие наименьшие суммы степеней расстояний до сторон или вершин треугольника или какие-либо другие параметры треугольника.

Минимаксными точками треугольника являются:

  • Точка пересечения медиан, имеющие наименьшую сумму квадратов расстояний до вершин треугольника.
  • Точка Торричелли (первая), имеющая наименьшую сумму расстояний до вершин треугольника с углами не более 120 градусов.
  • точка Лемуана, имеющая наименьшую сумму квадратов расстояний до сторон треугольника.
  • Основания высот остроугольного треугольника образуют ортотреугольник, имеющий наименьший периметр из всех треугольников, вписанных в данный треугольник.

Изо-точки и изо-прямые треугольника[править | править вики-текст]

Изо-точками назовем точки треугольника, дающие какие-либо равные параметры трех треугольников, которые образуются при соединении изо-точки отрезками с тремя вершинами треугольника. Изо-точками треугольника являются:

Изо-прямыми треугольника назовем прямые, которые разрезают данный треугольник на два треугольника, имеющие какие-либо равные параметры.

Изо-прямыми треугольника являются:

  • Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам и разрезает треугольник на два треугольника с равными площадями.
  • Биссектриса (Биссектор) треугольника делит пополам угол, из вершины которого она выходит.
  • Высота треугольника пересекает противоположную сторону (или ее продолжение) под прямым углом (то есть образует два равных угла со стороной по обе стороны от нее) и разрезает треугольник на два треугольника с равными (прямыми) углами.
  • Симедиана - геометрическое место точек внутри треугольника, выходящее из одной вершины, дающее два равных отрезка, антипараллельных двум сторонам, пересекающимся в этой вершине, и ограниченных тремя сторонами.
  • Кливер треугольника разбивает периметр пополам. Кливер треугольника — это отрезок, один конец которого находится в середине одной из сторон треугольника, второй конец находится на одной из двух оставшихся сторон. Кроме того, кливер параллелен одной из биссектрис угла. Каждый из кливеров проходит через центр масс периметра треугольника ABC, так что все три кливера пересекаются в центре Шпикера.
  • Также разбивает периметр пополам отрезок, соединяющий точку касания стороны треугольника и вневписанной окружности с вершиной, противоположной данной стороне. Три таких отрезка треугольника, проведенные из трех его вершин, пересекаются в точке Нагеля.

Задание[править | править вики-текст]

Барицентрические координаты центра, записанные через стороны (или тригонометрические функции углов) треугольника, дают возможность перевести многие задачи о центрах треугольника на алгебраический язык. Например, выяснить, задают ли два определения один и тот же центр или лежат ли три данных центра на одной прямой.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Рассматривают пары центров. Например
    • точки Брокара.
    • Точки Аполлония. Для всякого невырожденного треугольника АВС можно построить окружность Аполлония к стороне АВ, проходящую через точку С. Окружности, построенные таким образом к трём сторонам, будут пересекаться в двух точках — внутренней и внешней Аполлония соответственно.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]