Трёхгранник Френе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Репер Френе и соприкасающаяся плоскость кривой.

Репер или трёхгранник Френе или Френе — Серре известный также, как естественный, сопровождающий, сопутствующий — ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых, то есть таких, что первая и вторая производная линейно независимы в любой точке.

Определение[править | править код]

Пусть  — произвольная натурально параметризованная бирегулярная кривая в евклидовом пространстве. Под репером Френе понимают тройку векторов , , , сопоставленную каждой точке бирегулярной кривой , где

  •  — единичный касательный вектор,
  •  — единичный вектор главной нормали,
  •  — единичный вектор бинормали к кривой в данной точке.

Свойства[править | править код]

  • Если  — естественный параметр кривой, то векторы связаны соотношениями:
называемыми формулами Френе. Величины
называют, соответственно, кривизной и кручением кривой в данной точке.
  • Функции и определяют кривую с точностью до движения пространства.
    • Более того в случае если , такая кривая существует.

Скорость и ускорение в осях естественного трёхгранника[править | править код]

Трёхгранник Френе играет важную роль в кинематике точки при описании её движения в «сопутствующих осях». Пусть материальная точка движется по произвольной бирегулярной кривой. Тогда, очевидно, скорость точки направлена по касательному вектору . Дифференцируя по времени находим выражение для ускорения: . Компоненту при векторе называют тангенциальным ускорением, она характеризует изменение модуля скорости точки. Компоненту при векторе называют нормальным ускорением. Она показывает, как меняется направление движения точки.

Вариации и обобщения[править | править код]

При описании плоских кривых часто вводят понятие так называемой ориентированной кривизны.

Пусть  — произвольная натурально параметризованная плоская регулярная кривая. Рассмотрим семейство единичных нормалей , таких что двойка образуют правый базис в каждой точке . Ориентированной кривизной кривой в точке называют число . В сделанных предположениях имеет место следующая система уравнений, называемая формулами Френе для ориентированной кривизны

.

По аналогии с трёхмерным случаем, уравнения вида называются натуральными уравнениями плоской регулярной кривой и полностью её определяют.