Нормаль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Норма́ль в геометрии — обобщение понятия перпендикуляра к прямой или плоскости на произвольные гладкие кривые и поверхности.

В точке кривой построены векторы касательной (T), главной нормали (N) и бинормали (B). Показана также соприкасающаяся плоскость, содержащая касательную и главную нормаль.

Нормаль к кривой в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной прямой в указанной точке кривой. Плоская гладкая кривая имеет в каждой точке единственную нормаль, расположенную в той же плоскости. Пространственная кривая в каждой своей точке имеет бесконечное множество нормалей, формирующих так называемую нормальную плоскость. Две из этих нормалей выделяются особо: нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью[1].

Нормаль к поверхности в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в указанной точке поверхности. Нормаль для гладкой поверхности определяется однозначно[1].

Понятие нормали может быть легко распространено на многомерные многообразия. Кроме геометрии, нормали широко используются в геометрической оптике, механике, при создании трёхмерной компьютерной графики, в теории потенциала и в других естественных науках[2].

Вектор нормали[править | править код]

Векторы нормали в точках поверхности

Вектор нормали (или орт нормали) к поверхности в данной точке — единичный вектор, приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Аналогично определяются векторы нормали к пространственной кривой в данной точке; среди них, соответственно сказанному выше, выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали и вектор бинормали.

Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным полем векторов нормали. В противном случае поверхность называют односторонней или неориентируемой. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.

Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или лист Мёбиуса.

Нормаль к пространственной кривой[править | править код]

Пусть — векторное уравнение кривой. Тогд()а направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение: В случае естественной параметризации кривой (её длиной дуги) орт главной нормали[3] равен .

Векторное уравнение бинормали в точке имеет вид:

Уравнение нормальной плоскости[3] в точке :

Нормаль к плоской кривой[править | править код]

Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке имеет следующий вид.

Способ задания
плоской кривой
Уравнение кривой Уравнение нормали
Параметрическое задание
Явное задание
Неявное задание

Нормаль к поверхности[править | править код]

В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. При этом дополнительно накладывается условие регулярности (см. статью Поверхность). Примером точки поверхности, где нормаль не определена, является вершина конуса — в ней не существует касательной плоскости.

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

Координаты нормали в точке поверхности
параметрическое задание:
неявное задание:
явное задание:

Здесь . Все производные берутся в точке . Из формул видно, что в случае неявного задания направление нормали к функции совпадает с направлением её градиента.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол . Тогда кривизна кривой связана с кривизной нормального сечения (с той же касательной) формулой Мёнье[4]:

Кривизна нормального сечения в заданной точке зависит от направления этого сечения; если кривизна не постоянна, то максимум и минимум достигаются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называемых главными направлениями. На сфере, на торцах эллипсоида {итп}} кривизна постоянна, и все направления — главные[5].

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Математическая энциклопедия, 1982, с. 1049—1050.
  2. Нормаль // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 416. — 847 с.
  3. 1 2 Рашевский, 1956, с. 146.
  4. Погорелов, 1974, с. 125—126.
  5. Погорелов, 1974, с. 132—133.

Литература[править | править код]

  • Нормаль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  • Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-е изд. — М.: Наука, 1974. — 176 с.
  • Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 4-е изд. — М.: ГИТТЛ, 1956.

Ссылки[править | править код]