Туннелирование через дельтообразный потенциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Задача о туннелировании через дельтообразный барьер — это стандартная модельная задача квантовой механики. Задача состоит в решении одномерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака.

Решение[править | править вики-текст]

Стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции записывается в виде

где гамильтониан, постоянная Планка, масса, — энергия частицы и — дельтообразный потенциальный барьер с .

Барьер делит пространство на две части (). В обеих этих областях решение уравнения Шрёдингера представляет собой плоские волны и может быть записано в виде их суперпозиции:

где волновой вектор. Индексы и при коэффициентах и указывают на направление волнового вектора вправо и влево. Эти коэффициенты могут быть найдены из условия непрерывности волновой функции и условия непрерывности плотности потока вероятности при :

Эти условия дают следующие уравнения связи для коэффициентов и :

Коэффициенты прохождения и отражения[править | править вики-текст]

В классическом случае частица с конечной энергией не может преодолеть бесконечный потенциальный барьер. При квантовом подходе, однако, возможно туннелирование. Пусть падающая частица приближается к барьеру слева ( и ), тогда коэффициенты и , определяющие вероятность отражения и прохождения соответственно, имеют вид:

Неожиданным результатом с классической точки зрения является то, что имеется ненулевая вероятность прохождения (коэффициент прохождения) для бесконечно высокого барьера:

Литература[править | править вики-текст]

  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.