Ультрафильтр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ультрафильтр на решётке  — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Определение[править | править вики-текст]

Собственный фильтр на решётке является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (т.е. отличном от ) фильтре.

Набор подмножеств множества называется ультрафильтром на , если

  • для любых двух элементов , их пересечение также лежит в
  • для любого элемента , все его надмножества лежат в
  • для любого подмножества либо , либо

Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах , заданную как , если , и в противном случае, то является конечно-аддитивной вероятностной мерой на .

Ультрафильтры в булевых алгебрах[править | править вики-текст]

Если решётка является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента либо , либо

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  • ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
  • любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
  • если — главный ультрафильтр на множестве , то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
  • если — неглавный ультрафильтр на множестве , то пересечение всех его элементов пусто.
  • Каждый фильтр содержится в ультрафильтре.
    • Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора.
    • Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.
    • Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.
  • Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров можно взять множества для всевозможных

Приложения[править | править вики-текст]