Ультрафильтр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ультрафильтр на решётке F — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Определение[править | править вики-текст]

Собственный фильтр F на решётке L является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (т.е. отличном от F) фильтре.

Набор F подмножеств множества X называется ультрафильтром на X, если

  • \varnothing\notin F
  • для любых двух элементов F, их пересечение также лежит в F
  • для любого элемента F, все его надмножества лежат в F
  • для любого подмножества Y \subseteq X либо Y \in F, либо X \backslash Y \in F

Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах S\subset X, заданную как \omega_F(S)=1\,, если S\in F, и \omega_F(S)=0\, в противном случае, то \omega_F\, является конечно-аддитивной вероятностной мерой на X.

Ультрафильтры в булевых алгебрах[править | править вики-текст]

Если решётка L является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр F является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента x \in L либо x \in F, либо -x \in F

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  • ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
  • любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
  • если F — главный ультрафильтр на множестве X, то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
  • если F — неглавный ультрафильтр на множестве X, то пересечение всех его элементов пусто.
  • Каждый фильтр содержится в ультрафильтре.
    • Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора.
    • Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.
    • Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.
  • Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства X — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств X наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров G можно взять множества D_a=\{U\in G|a\in U\} для всевозможных a\in P(X).

Приложения[править | править вики-текст]