Дискретное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.

Определения[править | править вики-текст]

  • Пусть  — некоторое множество, а  — семейство всех его подмножеств. Тогда является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
  • Пусть  — метрическое пространство, где метрика определена следующим образом:

Тогда называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Замечание[править | править вики-текст]

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное — неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть где , и  — дискретная метрика на . Тогда  — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
  • Пусть и Данная метрика не дискретна, однако она порождает дискретную топологию.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда каждое его одноточечное подмножество открыто.
  • Все одноточечные подмножества дискретного топологического пространства образуют базу дискретной топологии.
  • Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
  • Дискретное метрическое пространство ограничено.
  • Любые два дискретных топологических пространства, имеющие одинаковую мощность, гомеоморфны.
  • Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
  • Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также[править | править вики-текст]