Компактификация Стоуна — Чеха

Компактификация Стоуна — Чеха (также стоун-чеховская или чех-стоунова компактификация) — максимальная компактификация вполне регулярного топологического пространства.

Компактификация Стоуна — Чеха пространства $X$ обычно обозначается как $\beta X$.

История

Конструкция компактификации Стоуна — Чеха была впервые рассмотрена Тихоновым в 1930 году. Более явно она была описана в 1937 году Стоуном и Эдуардом Чехом.

Универсальное свойство

$\beta X$ — это компактное хаусдорфово пространство вместе с непрерывным отображением из $X,$ удовлетворяющее следующему универсальному свойству: любое непрерывное отображение $f:X\to K$ в компактное хаусдорфово пространство $K$ можно однозначно продолжить до непрерывного отображения $\beta f:\beta X\to K,$ такого что следующая диаграмма коммутативна:

В случае, если исходное пространство $X$ было вполне регулярным, отображение $X\to \beta X$ является гомеоморфизмом $X$ на образ этого отображения (то есть вложением).

Замечание

• Несмотря на то, что универсальное свойство однозначно определяет компактификацию с точностью до изоморфизма, для доказательства существования компактификации нужно описать явную конструкцию.

Конструкция

Обозначим через $A$ множество всех непрерывных функций $\alpha \colon X\to [0,1]$. Можно проверить, что отображение $F:X\to [0,1]^{A}$ (тихоновский куб), определяемое равенством

$x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A}$,

является гомеоморфизмом $X$ на свой образ $F(X)\subset [0,1]^{A}$. Замыкание $F(X)$ в $[0,1]^{A}$ и будет искомой компактификацией.

Свойства

• Если $X$ является дискретным пространством, его компактификация — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств $X,$ наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров $G$ можно взять множества $D_{a}=\{U\in G|a\in U\}$ для всевозможных $a\in P(X).$

Литература

• Стоуна — Чеха бикомпактное расширение — статья из Математической энциклопедии. Кожевникова И. Г.
• Dror Bar-Natan, Ultrafilters, Compactness, and the Stone-Čech compactification