Уравнения Швингера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравне́ния Шви́нгера — система уравнений, связывающих функции Грина в квантовой теории поля. Предложена Джулианом Швингером в 1951.

Уравнения Швингера могут быть сформулированы в виде одного уравнения в вариационных производных:

,

где  — функционал действия,  — производящий функционал полных функций Грина. Аргумент функционала есть классический объект той же природы, что и поле , то есть обычная функция для бозонов и антикоммутирующая функция для фермионов,  — левая вариационная производная, в бозонном случае, в фермионном случае.

Для теории с полиномиальным по полю действием данное уравнение является уравнением конечного порядка в вариационных производных. Оно определяет решение лишь с точностью до числового множителя — однозначно определяется производящий функционал функции Грина без вакуумных петель , где  — производящий функционал функций Грина свободной теории.

Сделав в уравнении подстановку и сократив после выполнения дифференцирования множитель , получим уравнение Швингера для производящего функционала связных функций Грина .

Представив в виде ряда

,

и сравнивая коэффициенты при всех степенях , получим систему зацепляющихся уравнений для связных функций Грина .

Уравнение Швингера в квантовой электродинамике[править | править вики-текст]

Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов с источником внешнего электромагнитного поля в минимальной форме — . За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):

где  — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ обозначает хронологическое упорядочение операторов,  — вариационная производная.

В итоге для двухточечной фермионной функции Грина

где  — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем уравнение типа уравнения Дирака:

где  — матрицы Дирака,  — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току ):

где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам определить и , называются уравнениями Швингера.

Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения

Величина называется производящим функционалом.

Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:

где  — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с уравнениями Дайсона. Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера.

Литература[править | править вики-текст]

  • Васильев А. Н. § 7.1.Уравнения Швингера // Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике,. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1976. — С. 72-74. — 295 с.
  • Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Глава VI. Приложение общей теории устранения расходимостей // Введение в теорию квантованных полей,. — 4 изд.,. — М.: Наука, 1984. — Т. 4. — С. 389. — 600 с.
  • Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровиков и др. — Советская энциклопедия, 1988. — ISBN 5-85270-034-7.