Уравнения Швингера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравне́ния Шви́нгера — система уравнений, связывающих функции Грина в квантовой теории поля. Предложена Джулианом Швингером в 1951.

Уравнения Швингера могут быть сформулированы в виде одного уравнения в вариационных производных:

 \left \{\frac{\overrightarrow{\delta} S(\varphi)}{\delta \varphi(x)}\bigg|_{\varphi=\chi\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta iA}}+A(x) \right \}G(A)=0,

где S(\varphi) — функционал действия, G(A) — производящий функционал полных функций Грина. Аргумент функционала A(x) есть классический объект той же природы, что и поле \varphi, то есть обычная функция для бозонов и антикоммутирующая функция для фермионов, \frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta iA} — левая вариационная производная, \chi=+1 в бозонном случае, \chi=-1 в фермионном случае.

Для теории с полиномиальным по полю действием данное уравнение является уравнением конечного порядка в вариационных производных. Оно определяет решение лишь с точностью до числового множителя — однозначно определяется производящий функционал функции Грина без вакуумных петель H(A)=G_0^{-1}G(A), где G_0 — производящий функционал функций Грина свободной теории.

Сделав в уравнении подстановку G(A)=e^{W(A)} и сократив после выполнения дифференцирования множитель e^{W(A)}, получим уравнение Швингера для производящего функционала W(A) связных функций Грина W_n.

Представив W(A) в виде ряда

W(A)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{W_n(iA)^n}{n!},

и сравнивая коэффициенты при всех степенях iA, получим систему зацепляющихся уравнений для связных функций Грина W_n.

Уравнение Швингера в квантовой электродинамике[править | править вики-текст]

Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов A^{\mu} (x) с источником внешнего электромагнитного поля J_{\mu}(x) в минимальной форме — J_{\mu} A^{\mu}. За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику J_{\mu} (x) получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом S[J] источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):

\mathcal{A^{\mu}}(x) = \frac{1}{S_0 [J]} \langle 0 \vert T \{ A^{\mu} (x) S[J] \} \vert 0 \rangle = i \frac {\delta \ln S_0 [J]}{\delta J_{\mu} (x)},

где S_0[J] \equiv \langle 0 \vert S[J] \vert 0 \rangle, \mu = 0,1,2,3. \langle 0 \vert \cdots \vert 0 \rangle — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ T обозначает хронологическое упорядочение операторов, \frac {\delta}{\delta J_{\mu} (x)}, — вариационная производная.

В итоге для двухточечной фермионной функции Грина

G(x,y \vert J) = - \frac{i}{S_0 [J]} \langle 0 \vert T \{ \psi (x) \overline{\psi} (y) S[J] \} \vert 0 \rangle ,

где \psi(x) — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем уравнение типа уравнения Дирака:

\left \{ \gamma_{\mu} \left [ \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} - e  \mathcal{A^{\mu}}(x) \right ] - m - i e \gamma_{\mu} \frac {\delta}{\delta J_{\mu} (x)} \right \} G(x,y \vert J) = \delta^4 (x - y),

где \gamma_{\mu} — матрицы Дирака, e, m — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля \mathcal{A^{\mu}}(x) получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току J):

\Box \mathcal{A^{\mu}}(x) = -J_{\mu}(x) + i e \mathrm{Tr}[\gamma_{\mu} G(x,x \vert J)],

где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам J_{\mu}(x) определить G(x,y \vert J) и \mathcal{A^{\mu}}(x) , называются уравнениями Швингера.

Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения

G^{\mu \nu}(x,y \vert J) = - \frac{\delta A^{\mu} (x)}{\delta J^{\nu} (y)} = - i \frac {\delta^2 \ln S_0 [J]}{\delta J_{\mu} (x) \delta J_{\nu} (y)}.

Величина Z[J] \equiv i \ln S_0[J] называется производящим функционалом.

Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:

\Gamma_{\mu} (x, y, z) = - \frac{\delta}{\delta A^{\mu}} G^{-1}(x, y \vert J),

где G^{-1} — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с уравнениями Дайсона. Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера.

Литература[править | править вики-текст]

  • Васильев А. Н. § 7.1.Уравнения Швингера // Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике,. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1976. — С. 72-74. — 295 с.
  • Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Глава VI. Приложение общей теории устранения расходимостей // Введение в теорию квантованных полей,. — 4 изд.,. — М.: Наука, 1984. — Т. 4. — С. 389. — 600 с.
  • Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровиков и др. — Советская энциклопедия, 1988. — ISBN 5-85270-034-7.