Основным методом решения задач со взаимодействием, бесспорно, является теория возмущений, однако это далеко не единственный метод. Существуют, так называемые, непертурбативные методы и один из них ведет к уравнению Бете — Солпитера. Рассматривается система двух связанных фермионов. В свободной теории, как известно, для одночастичной волновой функции (где — спинорный индекс) пропагатор определяется следующим образом:
,
Тут используется запись с использованием «перечёркнутых матриц», — 4-х вектор внешней нормали. Интегрирование ведется по поверхности объёма, включающего в себя событие , . — фейнмановский пропагатор. В случае невзаимодействующих частиц он определяется как решение следующего уравнения[2]:
,
Аналогично пропагатору для одночастичной волновой функции, можно определить пропагатор для двучастичной волновой функции следующим выражением:
,
Здесь — спинор, обладающий двумя спинорными индексами . В случае невзаимодействующих частиц, двучастичная волновая функция распадается в произведение одночастичных, а пропагатор в произведение пропагаторов:
Однако это самый тривиальный случай. Теперь же «включим» электромагнитное взаимодействие между двумя частицами. Если бы мы следовали идеологии теории возмущений, то получили бы, следуя Фейнману, представляется в виде:
Под понимается сумма всевозможных диаграмм, получаемых из теории возмущения. Основная идея, приводящая к уравнению заключается в том, что всю сумму диаграмм мы обозначаем, как некоторое ядро . Мы будем называть диаграмму приводимой, если после удаления двух фермионных линий она становится несвязной. Тогда можно представить в виде суммы двух вкладов: вклада приводимых диаграмм и вклада неприводимых диаграмм . Можно показать[3], что выражение для может быть переписано как:
Подставляя это выражение в получаем уравнение Бете — Солпитера:
В этом выражении — свободная двучастичная волновая функция, то есть волновая функция в отсутствии взаимодействия между частицами. Таким образом, получили интегральное уравнение Фредгольма II рода.
Интегро-дифференциальная форма записи уравнения Бете — Солпитера. Запись в p-пространстве
Подействуем теперь на уравнение Бете-Солпитера операторами , в силу получим следующее выражение:
Соответственно вместо интегрального уравнения типа Фредгольма, мы получаем интегро-дифференциальное уравнение на двухчастичную волновую функцию . Ещё одной возможной формой записи уравнения Бете-Солпитера, является запись в импульсном пространстве, а именно, определим преобразование Фурье двухчастичной волновой функции следующим образом:
Фурье преобразования самого уравнения Бете-Солпитера запишется следующим образом:
В левой части можно перенести градиенты на экспоненту при помощи интегрирования по частям. Также добавим в правую часть две дельта-функции. Получим:
В связи со своей общностью и тем, что оно применяется во многих разделах теоретической физики, уравнение Бете — Солпитера можно встретить в разных формах. Одной из форм, часто используемой в физике высоких энергий, является:
,
где — амплитуда Бете — Солпитера, описывает взаимодействие двух частиц, а — их пропагатор.
Даже для простых систем, таких как позитроний, уравнение не может быть решено точно, хотя в принципе оно сформулировано точно. К счастью, классификация состояний может быть проведена без использования точного решения. Если одна частица гораздо массивнее другой, то задача значительно упрощается, и в этом случае решается уравнение Дирака для лёгкой частицы, находящейся, во внешнем потенциале, создаваемом тяжёлой частицей.
N. Nakanishi. A general survey of the theory of the Bethe–Salpeter equation (англ.) // Progress of Theoretical Physics. — 1969. — Vol. 43. — P. 1–81. — doi:10.1143/PTPS.43.1.
Н.Н Боголюбов, Д.В Ширков, Введение в теорию квантованных полей,1973