Феномен Рунге

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функция Рунге (плотность вероятности распределения Коши) и интерполяционный полином 5-й степени
Функция типа Рунге и интерполяционный полином 10-й степени

Феномен (явление) Рунге — в численном анализе эффект нежелательных осцилляций, возникающий при интерполяции полиномами высоких степеней. Был открыт Карлом Рунге при изучении ошибок полиномиальной интерполяции для приближения некоторых функций[1].

Рассмотрим функцию Если интерполировать её по равноотстоящим узлам между −1 и 1 полиномом со степенью меньше или равной , то полученный интерполянт будет осциллировать ближе к концам интервала. С возрастанием степени полинома погрешность интерполяции стремится к бесконечности:

Тем не менее, согласно аппроксимационной теореме Вейерштрасса, для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке. Пример лишь показывает трудность интерполяции по равноотстоящим узлам полиномом высокой степени.

Погрешность интерполяции функции полиномом степени ограничена -ой производной функции: у такого полинома может быть точка экстремума.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Рунге, Карл Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten (нем.) // Zeitschrift für Mathematik und Physik. — 1901. — Bd. 46. — S. 224—243.