Формула Сантало

Формула Сантало́ — следствие теоремы Лиувилля о сохранении фазового объёма применяемая для интегрирования функций заданных на расслоении единичных сфер риманова многообразия. А именно она даёт возможность сначала интегрировать по каждой геодезической отдельно, а затем по пространству всех геодезических.

Этот инструмент используется при доказательстве изопериметрических неравенств, а также результатов жёсткости.

Формула названа в честь Луиса Сантало, который доказал её в 1952 году.

Формулировка

Пусть $(M,g)$ — компактное, ориентированное риманово многообразие с краем $\partial M$. Предположим, что длины геодезических в $M$ ограничены, то есть любая геодезическая выходит на границу за определённое время. Пусть $\varphi _{t}\colon SM\to SM$ обозначает геодезический поток на расслоении единичных сфер $SM$. Тогда

$\ \int \limits _{v\in SM}f(v)\cdot \mu =\int \limits _{w\in S_{+}\partial M}\left[\int \limits _{0}^{\tau (w)}f(\varphi _{t}(w))\cdot dt\right]\cdot \cos \theta (w)\cdot \sigma$

для любой интегрируемой функции $f$ на $SM$. При этом мы предполагаем, что

• $\theta (w)$ — угол между $w$ и направленной внутрь нормалью к $\partial M$ в базовой точке вектора $w\in S_{+}\partial M$ то есть вектора с базовой точкой на границе $\partial M$ направленного внутрь $M$.
• $\mu$ а также $\sigma$ являются римановыми формами объема относительно метрики Сасаки на $SM$ и $S_{+}\partial M$.
• $\tau (w)$ обозначает время выхода геодезической с начальными условиями $w\in S_{+}\partial M$; то есть

  $\tau (w)=\sup\{t\geq 0:\forall s\in [0,t]:~\varphi _{s}(x,v)\in SM\}$

См. также

• Преобразование Радона
• Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма
• Формула Крофтона

Ссылки

• Сергей Иванов, Некоторые геометрические неравенства и теоремы жесткости, Лекция 9 на YouTube, начиная с 1:01:52