Функции параболического цилиндра
Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра (функции Вебера) — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.
В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%92%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%BC_%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BC.jpg/350px-%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%92%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%BC_%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BC.jpg)
При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении получается уравнение:
решения которого называются функциями Вебера и обозначаются
Функции являются решениями уравнения Вебера, причём при нецелом функции линейно независимы. Для всех функции также линейно независимы.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%AD%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%82%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%BC_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%BC.jpg/350px-%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%AD%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%82%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%BC_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%BC.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%AD%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%82%D0%B0_%D1%81_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%BC_%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BC.jpg/350px-%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%AD%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%82%D0%B0_%D1%81_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%BC_%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BC.jpg)
На практике часто пользуются и другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из заменой
Функции Эрмита обозначаются Общее решение уравнения
где — вырожденная гипергеометрическая функция.
При целом неотрицательном функция Эрмита совпадает с полиномом Эрмита. При целом отрицательном функция Эрмита выражается в замкнутом виде через функцию ошибок.
Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования
[править | править код]Рекуррентные соотношения
[править | править код]
Формулы дифференцирования
[править | править код]
Интегральные представления
[править | править код]Асимптотическое поведение
[править | править код]В начале координат
[править | править код]На бесконечности
[править | править код]Литература
[править | править код]- Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, 1963, том 2
- Бейтмен, Эрдейи Высшие трансцендентные функции, том 2
- H.F. Weber, "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung " Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36
Ссылки
[править | править код]- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables 1972, Dover: New York. chapter 19.
- Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Function. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Differential Equation. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |