Многочлены Эрмита

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Многочлены Эрмита
Общая информация
Формула

Скалярное произведение

Область определения

Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение

Норма

Названы в честь

Эрмит, Шарль

Многочлены Эрмита — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.

Названы в честь французского математика Шарля Эрмита.

Определение[править | править вики-текст]

Графики многочленов Эрмита порядка (вероятностное определение)

В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:

;

в физике обычно используется другое определение:

.

Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого

.

Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):

.

Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:

Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид:

Свойства[править | править вики-текст]

Многочлен содержит члены только той же чётности, что и само число :

.

При верны такие соотношения:

, (в вероятностном определении)
. (в физическом определении)

Уравнение имеет действительных корней, что есть попарно симметричным относительно начала системы координат и модуль каждого из них не превосходит величины . Корни многочлена чередуются с корнями многочлена .

Многочлен можно представить в виде определителя матрицы :

Формула сложения[править | править вики-текст]

Имеет место следующая формула сложения для многочленов Эрмита:

Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:

  • , . Тогда
.
  • , , . Тогда
.

Дифференцирование и рекуррентные соотношения[править | править вики-текст]

Производная -ого порядка от многочлена Эрмита , также есть многочлен Эрмита:

Отсюда получается соотношение для первой производной (для физического определения)

и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:

Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:

Ортогональность[править | править вики-текст]

Многочлен Эрмита создает полную ортогональную систему на интервале с весом или в зависимости от определения:

, (в вероятностном определении)
, (в физическом определении)

где  — дельта-символ Кронекера.

Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита является возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого справедлива запись

Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена и коэффициентами разложения этой же функции по многочленам Эрмита, ,которые называются отношениями Нильса Нильсона:

Например, разложение функции Куммера будет иметь такой вид:

где —обобщённая гипергеометрическая функция второго порядка,  — гамма-функция.

Разложение функций, в которых присутствует экспонента.

Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:

Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид

Дифференциальные уравнения[править | править вики-текст]

Многочлены Эрмита являются решениями линейного дифференциального уравнения:

Если является целым числом, то общее решение вышеприведённого уравнения записывается как

,

где  — произвольные постоянные, а функции называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций и .

Представления[править | править вики-текст]

Многочлены Эрмита предполагают такие представления:

где  — контур, который охватывает начало координат.

Другое представление имеет вид:

.

Связь с другими специальными функциями[править | править вики-текст]

  • Связь с функцией Куммера:
  • Связь с многочленами Лагерра:

Применение[править | править вики-текст]

.
Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям . Нормированные на единицу, они записываются как
.
В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита .
  • Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции . Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по :
,
то функции , которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию , выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:
.
Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.
  • В лазерной физике, а точнее - в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита-Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.

Ссылки[править | править вики-текст]