Уравнение Гельмгольца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравне́ние Гельмго́льца — это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных:

где  — это оператор Лапласа, а неизвестная функция U определена в (на практике уравнение Гельмгольца применяется для n = 1, 2, 3).

Вывод уравнения[править | править вики-текст]

Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Рассмотрим волновое уравнение:

Пусть функции u и f допускают разделение переменных: , и пусть . Заметим, что в пространстве Фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель . Таким образом, наше уравнение приводится к виду:

где — это квадрат модуля волнового вектора.

Решение уравнения Гельмгольца[править | править вики-текст]

Случай однородного уравнения[править | править вики-текст]

Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса a в полярных координатах (r, φ) уравнение принимает вид:

Методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от :

а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению:

Фундаментальными решениями этих уравнений являются, соответственно, функции и где  — i-й корень функции Бесселя λ-го порядка.

Случай неоднородного уравнения[править | править вики-текст]

Рассмотрим уравнение Гельмгольца в пространстве обобщённых функций:

Покажем, что в трёхмерном случае фундаментальными решениями этого уравнения являются функции:

В самом деле, воспользуемся равенствами:

и формулой, доказываемой в курсе математической физики:

Получаем:

Прямыми вычислениями также проверяется, что в двумерном случае фундаментальным решением будут функции Ханкеля первого и второго рода:

а в одномерном:

Литература[править | править вики-текст]