Метод разделения переменных
Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных переменных величин, причем одни из них являются функциями других.
В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье (в честь Жана Батиста Фурье, построившего решения уравнения теплопроводности в виде тригонометрических рядов[1]) и методом стоячих волн[2][3].
Обыкновенные дифференциальные уравнения
[править | править код]Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, правая часть которого есть произведение функции только от на функцию только от (при этом функция является функцией от ). [4]:
При это уравнение можно переписать в виде
.
Пусть — некоторое решение уравнения (1). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределённые интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым:
.
Вычисляя интегралы, получим общий интеграл уравнения (1).
Если уравнение задано в виде[5]:
то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (1). Достаточно разделить обе части на :
откуда получится общий интеграл
Пример
[править | править код]Пусть
[6].
Разделяя переменные, получим
Интегрируя обе части последнего равенства, будем иметь
где — положительная постоянная. Отсюда
или
где — произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Решениями данного дифференциального уравнения являются также функции и . Последнее решение получается из общего решения при .
Уравнения в частных производных
[править | править код]Метод разделения переменных применяется для решения краевых задач для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также для некоторых классов нелинейных уравнений и уравнений высших порядков [7].
Однородное уравнение
[править | править код]Приведем схему метода для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах[8]:
Будем искать тождественно не равные нулю решения уравнения (2), удовлетворяющие краевым условиям (3) в виде произведения
Подставим предполагаемый вид решения в уравнение (2) и поделим на :
Левая часть равенства (6) является функцией только переменного , правая — только . Следовательно, обе части не зависят ни от , ни от и равны некоторой константе . Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций и :
Подставляя (5) в краевые условия (3), получаем
Приходим к задаче Штурма-Лиувилля (7),(9). Эта задача имеет нетривиальные решения (собственные функции)
определяемые с точностью до произвольного множителя только при значениях , равных собственным значениям
Этим же значениям соответствуют решения уравнения (8)
где и — произвольные постоянные.
Таким образом, функции
являются частными решениями уравнения (2), удовлетворяющими условиям (3). Решение задачи (2)-(4) получается в виде бесконечной суммы частных решений
где константы и могут быть найдены из начальных условий (4) как коэффициенты Фурье функций и :
Метод разделения переменных также применим к уравнению колебаний струны общего вида
где , и — непрерывные положительные на отрезке функции[9]. В этом случае решение строится в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
Основополагающие работы по обоснованию метода Фурье принадлежат В. А. Стеклову[10]. Теорема Стеклова утверждает, что при определенных условиях любая функция единственным образом разлагается в ряд Фурье по собственным функциями краевой задачи (10).
Неоднородное уравнение
[править | править код]Метод разделения переменных для неоднородных уравнений иногда называют методом Крылова в честь А. Н. Крылова[2]. При решении краевой задачи для уравнения неоднородного уравнения колебаний струны
функции и разлагаются в ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для соответствующего однородного уравнения (2):
Подстановка полученных рядов в уравнение (11) с учетом ортогональности системы даёт уравнение относительно :
Функции могут быть найдены как решения задач Коши для уравнений (12) с начальными условиями, полученными из начальных условий исходной краевой задачи.
Программное обеспечение
[править | править код]Xcas:[11] split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.—Л.: ГОНТИ, 1937. — Т. I. — С. 103.
- ↑ 1 2 Юрко В. А. Уравнения математической физики, 2004.
- ↑ Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999, с. 88.
- ↑ Смирнов В. И. Курс высшей математики, 1974, Т. 2, с. 14.
- ↑ Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, 1950, с. 24.
- ↑ Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения, 2008, с. 19.
- ↑ Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Метод разделения переменных в математической физике, 2009.
- ↑ Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999, с. 82.
- ↑ Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999, с. 113.
- ↑ Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999, с. 119.
- ↑ [Symbolic algebra and Mathematics with Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf] .
Литература
[править | править код]- Смирнов В. И. Курс высшей математики. — 21-е издание. — Наука, 1974. — Т. 2.
- Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — Изд. 6-е. — 1950.
- Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: учебное пособие. — 3-е изд.. стер.. — СПб.: Лань, 2008. — 288 с.
- Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Метод разделения переменных в математической физике. — СПб., 2009. — 92 с. — ISBN 978–5–94777–211–1.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.
- Юрко В. А. Уравнения математической физики: учеб. пособие для студентов механико-математического и физического факультетов. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. — 118 с. — ISBN 5-292-03022-8.