Метод разделения переменных

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных.

В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье (в честь Жана Батиста Фурье, построившего решения уравнения теплопроводности в виде тригонометрических рядов[1]) и методом стоячих волн[2][3].

Обыкновенные дифференциальные уравнения[править | править вики-текст]

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, правая часть которого есть произведение функции только от на функцию только от [4]:

При это уравнение можно переписать в виде

.

Пусть — некоторое решение уравнения (1). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределённые интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым:

.

Вычисляя интегралы, получим общий интеграл уравнения (1).

Если уравнение задано в виде[5]:

то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (1). Достаточно разделить обе части на :

откуда получится общий интеграл

Пример[править | править вики-текст]

Пусть

[6].

Разделяя переменные, получим

Интегрируя обе части последнего равенства, будем иметь

где — положительная постоянная. Отсюда

или

где — произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Решениями данного дифференциального уравнения являются также функции и . Последнее решение получается из общего решения при .

Уравнения в частных производных[править | править вики-текст]

Метод разделения переменных применяется для решения краевых задач для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также для некоторых классов нелинейных уравнений и уравнений высших порядков [7].

Однородное уравнение[править | править вики-текст]

Приведем схему метода для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах[8]:

Будем искать тождественно не равные нулю решения уравнения (2), удовлетворяющие краевым условиям (3) в виде произведения

Подставим предполагаемый вид решения в уравнение (2) и поделим на :

Левая часть равенства (6) является функцией только переменного , правая — только . Следовательно, обе части не зависят ни от , ни от и равны некоторой константе . Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций и :

Подставляя (5) в краевые условия (3), получаем

Приходим к задаче задаче Штурма-Лиувилля (7),(9). Эта задача только при значениях , равных собственным значениям

имеет нетривиальные решения (собственные функции)

определяемые с точностью до произвольного множителя. Этим же значениям соответствуют решения уравнения (8)

где и — произвольные постоянные.

Таким образом, функции

являются частными решениями уравнения (2), удовлетворяющими условиям (3). Решение задачи (2)-(4) получается в виде бесконечной суммы частных решений

где константы и могут быть найдены из начальных условий (4) как коэффициенты Фурье функций и :

Метод разделения переменных также применим к уравнению колебаний струны общего вида

где , и — непрерывные положительные на отрезке функции[9]. В этом случае решение строится в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

Основополагающие работы по обоснованию метода Фурье принадлежат В. А. Стеклову[10]. Теорема Стеклова утверждает, что при определенных условиях любая функция единственным образом разлагается в ряд Фурье по собственным функциями краевой задачи (10).

Неоднородное уравнение[править | править вики-текст]

Метод разделения переменных для неоднородных уравнений иногда называют методом Крылова в честь А. Н. Крылова[2]. При решении краевой задачи для уравнения неоднородного уравнения колебаний струны

функции и разлагаются в ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для соответствующего однородного уравнения (2):

Подстановка полученных рядов в уравнение (11) с учетом ортогональности системы даёт уравнение относительно :

Функции могут быть найдены как решения задач Коши для уравнений (12) с начальными условиями, полученными из начальных условий исходной краевой задачи.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Смирнов В. И. Курс высшей математики. — 21-е издание. — Наука, 1974. — Т. 2.
  • Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — Изд. 6-е. — 1950.
  • Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: учебное пособие. — 3-е изд.. стер.. — СПб.: Лань, 2008. — 288 с.
  • Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Метод разделения переменных в математической физике. — СПб., 2009. — 92 с. — ISBN 978–5–94777–211–1.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.
  • Юрко В. А. Уравнения математической физики: учеб. пособие для студентов механико-математического и физического факультетов. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. — 118 с. — ISBN 5-292-03022-8.