Метод разделения переменных

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных.

В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье (в честь Жана Батиста Фурье, построившего решения уравнения теплопроводности в виде тригонометрических рядов[1]) и методом стоячих волн[2][3].

Обыкновенные дифференциальные уравнения[править | править вики-текст]

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, правая часть которого есть произведение функции только от x на функцию только от y [4]:

\frac{dy}{dx} = g(x) h(y). \qquad (1)

При h(y) \ne 0 это уравнение можно переписать в виде

\frac{dy}{h(y)} = g(x) dx.

Пусть y(x) — некоторое решение уравнения (1). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределённые интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым:

 \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) dx + C .

Вычисляя интегралы, получим общий интеграл уравнения (1).

Если уравнение задано в виде[5]:


M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0,

то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (1). Достаточно разделить обе части на  N(y) P(x):


\frac{M(x) dx}{P(x)} + \frac{ Q(y)dy}{N(y)} = 0,

откуда получится общий интеграл


\int \frac{M(x) dx}{P(x)} + \int \frac{ Q(y)dy}{N(y)} = C.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть

x dy - y dx = 0[6].

Разделяя переменные, получим


\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}.

Интегрируя обе части последнего равенства, будем иметь


\ln|y| = \ln|x| + \ln C_1,

где C_1 — положительная постоянная. Отсюда


|y| = C_1 |x|

или


y = Cx,

где C = \pm C_1 — произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Решениями данного дифференциального уравнения являются также функции  x = 0 и  y = 0 . Последнее решение получается из общего решения  y = C x при  C = 0 .

Уравнения в частных производных[править | править вики-текст]

Метод разделения переменных применяется для решения краевых задач для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также для некоторых классов нелинейных уравнений и уравнений высших порядков [7].

Однородное уравнение[править | править вики-текст]

Приведем схему метода для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах[8]:


u_{tt} = a^2 u_{xx}, \qquad (2)


u(0,t) = 0, \quad u(l, t) = 0, \qquad (3)


u(x, 0) = \varphi(x), \quad u_t(x, 0) = \psi(x). \qquad (4)

Будем искать тождественно не равные нулю решения уравнения (2), удовлетворяющие краевым условиям (3) в виде произведения


u(x, y) = X(x) T(t). \quad (5)

Подставим предполагаемый вид решения в уравнение (2) и поделим на  a^2 X(x) T(t) :


\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{T''(t)}{a^2 T(t)}. \qquad (6)

Левая часть равенства (6) является функцией только переменного x, правая — только t. Следовательно, обе части не зависят ни от x, ни от t и равны некоторой константе -\lambda. Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X(x) и T(t):


X''(x) + \lambda X(x) = 0, \quad X(x) \not \equiv 0, \qquad (7)


T''(t) + a^2 \lambda T(t) = 0, \quad T(t) \not \equiv 0, \qquad (8)

Подставляя (5) в краевые условия (3), получаем

 
X(0) = X(l) = 0. \qquad (9)

Приходим к задаче задаче Штурма-Лиувилля (7),(9). Эта задача только при значениях \lambda, равных собственным значениям


\lambda_n = \left(\frac{\pi n}{l}\right)^2, \quad n = 1, 2, 3, \dots

имеет нетривиальные решения (собственные функции)


X_n(x) = \sin \frac{\pi n }{l} x,

определяемые с точностью до произвольного множителя. Этим же значениям \lambda_n соответствуют решения уравнения (8)


T_n(t) = A_n \cos \frac{\pi n}{l} at + B_n \sin \frac{\pi n}{l} at,

где  A_n и  B_n — произвольные постоянные.

Таким образом, функции


u_n(x, t) = X_n(x) T_n(t)

являются частными решениями уравнения (2), удовлетворяющими условиям (3). Решение задачи (2)-(4) получается в виде бесконечной суммы частных решений


u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} u_n(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left(A_n \cos \frac{\pi n}{l} at + B_n \sin \frac{\pi n}{l} at \right) \sin \frac{\pi n }{l} x,

где константы A_n и B_n могут быть найдены из начальных условий (4) как коэффициенты Фурье функций  \varphi(x) и  \psi(x) :


A_n = \frac{2}{l} \int_0^l \varphi(x) \sin \frac{\pi n}{l} x dx, \quad
B_n = \frac{2}{\pi n a} \int_0^l \psi(x) \sin \frac{\pi n}{l} x dx.

Метод разделения переменных также применим к уравнению колебаний струны общего вида


\frac{\partial}{\partial x} \left[ k(x) \frac{\partial u}{\partial x} \right] - q(x) u = \rho(x) \frac{\partial^2 u}{\partial t^2},

где k, q и \rho — непрерывные положительные на отрезке  0 < x < l функции[9]. В этом случае решение строится в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля


\frac{d}{d x} \left[ k(x) \frac{d X}{d x} \right] - q(x) X + \lambda \rho(x) X = 0, \quad X(0) = X(l) = 0. \qquad (10)

Основополагающие работы по обоснованию метода Фурье принадлежат В. А. Стеклову[10]. Теорема Стеклова утверждает, что при определенных условиях любая функция единственным образом разлагается в ряд Фурье по собственным функциями краевой задачи (10).

Неоднородное уравнение[править | править вики-текст]

Метод разделения переменных для неоднородных уравнений иногда называют методом Крылова в честь А. Н. Крылова[2]. При решении краевой задачи для уравнения неоднородного уравнения колебаний струны


u_{tt} = a^2 u_{xx} + f(x, t) \quad (11)

функции u и f разлагаются в ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для соответствующего однородного уравнения (2):


u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) \sin \frac{\pi n}{l}x,


f(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_n(t) \sin \frac{\pi n}{l} x.

Подстановка полученных рядов в уравнение (11) с учетом ортогональности системы  \left \{ \sin \frac{\pi n}{l} x \right \} даёт уравнение относительно T_n(t):


T''_n(t) + a^2 \lambda_n T_n(t) = f_n(t). \qquad (12)

Функции T_n(t) могут быть найдены как решения задач Коши для уравнений (12) с начальными условиями, полученными из начальных условий исходной краевой задачи.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Смирнов В. И. Курс высшей математики. — 21-е издание. — Наука, 1974. — Т. 2.
  • Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — Изд. 6-е. — 1950.
  • Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: учебное пособие. — 3-е изд.. стер.. — СПб.: Лань, 2008. — 288 с.
  • Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Метод разделения переменных в математической физике. — СПб., 2009. — 92 с. — ISBN 978–5–94777–211–1.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.
  • Юрко В. А. Уравнения математической физики: учеб. пособие для студентов механико-математического и физического факультетов. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. — 118 с. — ISBN 5-292-03022-8.