Метод трапеций

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Аппроксимация функции линейной зависимостью при интегрировании методом трапеций

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной

Составная формула[править | править вики-текст]

Применение составной формулы трапеций

Если отрезок разбивается узлами интегрирования и на каждом из элементарных отрезков применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

четное

Формула Котеса[править | править вики-текст]

Применение формулы трапеций для равномерной сетки

В случае равномерной сетки

где — шаг сетки.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Метод трапеций быстро сходится для осциллирующих функций, поскольку погрешность за период аннулируется.
  • Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — 2. — Физ-Мат. Лит., 1963. — С. 659.