Аналитическая теория чисел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.

Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида

где  — натуральные числа, Эйлер построил производящую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при )

и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом

где  — число решений изучаемого уравнения. На основе этого метода был построен круговой метод Харди — Литлвуда[1].

В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида , которые могут быть представлены в виде суммы синусов и косинусов (по формуле Эйлера), из-за чего они являются частным случаем тригонометрических сумм[1]. Метод тригонометрических сумм, позволяющий оценивать число решений тех или иных уравнений или систем уравнений в целых числах играет большую роль в аналитической теории чисел. Основы метода разработал и впервые применил к задачам теории чисел И. М. Виноградов.

Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел, Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:

,

которое стало основанием для теорий дзета-функций[1]. Наиболее известной и до сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения лежат на так называемой критической прямой , где  — дзета-функция Римана.

Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что

,

при этом функция , получившая название характер Дирихле, определена так, что удовлетворяет следующим условиям: она является периодической, вполне мультипликативной и не равна тождественно нулю. Характеры и ряды Дирихле нашли применение и в других разделах математики, в частности в алгебре, топологии и теории функций[1].

Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходящих , обозначенное как , стремится к бесконечности по следующему закону[1]:

, где и .

Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 4 5 Чисел теория // Большая советская энциклопедия

Литература[править | править код]

  • Davenport, Harold (2000), Multiplicative number theory, vol. 74 (3rd revised ed.), Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95097-6 
  • Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, vol. 46, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41261-7 
  • Б.М. Широков, Петрозаводский государственный университет им. О. В. Куусинена. Аналитическая теория чисел. — Петрозаводский гос. университет им. О.В. Куусинена, 1986. — 93 с.
  • А. Б. Венков, Леон Арменович Тахтаджян. Аналитическая теория чисел и теория функций. — Наука, 1979. — Т. 2. — 224 с.