Формула Крофтона

Формула Крофтона — классический результат интегральной геометрии. Связывает длину кривой со средним числом пересечений с прямыми.

Названа в честь Моргана Крофтона.

Формулировка

Пусть $\gamma$ — спрямляемая плоская кривая. Для прямой $l$, обозначим через $n_{\gamma }(l)$ число точек, в которых $\gamma$ и $l$ пересекаются. Мы можем параметризовать ориентированные прямые $l$ углом $\varphi$ к выбранному направлению и расстоянием $p$ от начала координат взятым со знаком. Тогда длина кривой $\gamma$ равна

$L={\frac {1}{4}}\int \limits _{0}^{2\cdot \pi }d\varphi \cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }n_{\gamma }(\varphi ,p)\cdot dp.$

Замечания

• Дифференциальная форма

  $d\varphi \wedge dp$

инвариантна относительно движений плоскости. Таким образом, она даёт естественную меру для интегрирования.

• Формула Крофтона эквивалентна следующему утверждению: Длина кривой прямо пропорциональна средней длине её ортогональных проекций. При этом длина проекции считается с учётом кратности.

Приложения

Формула Крофтона даёт доказательства следующих результатов:

• Если замкнутая плоская кривая обходит вокруг выпуклой кривой, то эта выпуклая кривая имеет меньшую длину.
• Теорема Барбье: Кривая постоянной ширины $a$ имеет периметр $\pi \cdot a$.
• Изопериметрические неравенства: среди замкнутых кривых с заданным периметром, круг имеет максимальную площадь.
• Если сферическая кривая имеет длину меньше $2{\cdot }\pi$, то она лежит в открытой полусфере. Это утверждение является ключевым в доказательстве теоремы Фенхеля о повороте кривой.

Вариации и обобщения

• Задача Бюффона о бросании иглы

• Формула Крофтона обобщается для любой римановой поверхности; при этом для интегрирования используется естественная мера на пространстве геодезических фиксированной длины.
  • Например, длина кривой на единичной сфере равна $\pi \cdot n$, где $n$ обозначает среднее число пересечений кривой с окружностями большого круга.

• Преобразование Радона может рассматриваться как обобщение формулы Крофтона в теории меры.
• Формула Сантало

Литература

• Tabachnikov, Serge. Geometry and Billiards (англ.). — AMS, 2005. — P. 36—40. — ISBN 0-8218-3919-5.
• Santalo, L. A. Introduction to Integral Geometry (англ.). — 1953. — P. 12—13, 54.
• Лекция 19 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.