Кривая постоянной ширины

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Треугольник Рёло — кривая постоянной ширины. Стороны квадрата — опорные прямые: каждая сторона касается треугольника, но не пересекает его. Треугольник Рёло можно вращать, и при этом он всегда будет касаться каждой стороны квадрата; таким образом ширина треугольника (расстояние между двумя опорными прямыми) постоянна

Крива́я постоя́нной ширины́  — плоская выпуклая кривая, длина ортогональной проекции которой на любую прямую равна .

Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно  — ширине кривой.

Связанные определения[править | править код]

  • Фигурой постоянной ширины называется фигура, граница которой является кривой постоянной ширины.

Примеры[править | править код]

Многоугольники Рёло
Гладкая кривая постоянной ширины, построенная на базе треугольника и составленная из фрагментов шести сопряжённых окружностей. Ширина w = a + bc +2y, где a, b, c – стороны треугольника (a, b > c, y > 0)

Фигурами постоянной ширины, в частности, являются круг и многоугольники Рёло (частный случай последних — треугольник Рёло). Многоугольники Рёло составлены из фрагментов окружностей и не являются гладкими кривыми. Из сопряжённых фрагментов окружностей можно построить и гладкую кривую постоянной ширины (рисунок справа), но дальнейшее увеличение гладкости кривой на этом пути невозможно.

Функциональное представление[править | править код]

В отличие от приведенных выше простейших примеров, кривые постоянной ширины могут не совпадать с окружностью ни на каком конечном отрезке и быть везде сколь угодно гладкими. В общем виде фигура постоянной ширины c опорной функцией задаётся параметрическими уравнениями[1]

при условиях:

  1. полученная кривая является выпуклой.

Согласно элементарной тригонометрии, первому условию удовлетворяет ряд Фурье следующего вида:

[2].

Если коэффициенты ряда убывают достаточно быстро, то результирующая кривая будет выпуклой (без самопересечений).

В частности, опорная функция порождает кривую постоянной ширины, для которой найдено неявное представление в виде уравнения для полинома 8-й степени [3]

Эта кривая в окрестности любой точки является аналитической функцией либо от x, либо от y и ни в какой окрестности не совпадает с окружностью.

Свойства[править | править код]

  • У кривой постоянной ширины длина равна (теорема Барбье).
  • Центры вписанной и описанной окружностей кривой постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине кривой.
  • Фигура постоянной ширины может вращаться в квадрате со стороной , всё время касаясь каждой из сторон.
  • Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг — наибольшую.
  • Любую плоскую фигуру диаметра можно накрыть фигурой постоянной ширины .

Применения[править | править код]

Монета Барбадоса, вписанная в квадрат

Вариации и обобщения[править | править код]

Линзообразный Δ-двухугольник, вращающийся внутри равностороннего треугольника
  • Фигуры постоянной ширины можно определить как выпуклые фигуры, способные вращаться внутри квадрата, одновременно касаясь всех его сторон. Можно также рассматривать фигуры, способные вращаться, касаясь всех сторон некоторого -угольника, например, правильного -угольника. Такие фигуры называются роторами[7].
    • Например, двуугольник, образованный пересечением двух одинаковых кругов с углом при вершине, равным , является ротором равностороннего треугольника. Сверлом такой формы в принципе можно было бы сверлить треугольные отверстия без сглаженных углов.
    • Рассматривались фигуры вращающиеся внутри более общих фигур.[8]

Примечания[править | править код]

  1. Guggenheimer H. W. Differential Geometry. — New York: Dover, 1977.
  2. Коэффициент с номером k = 1 можно обнулить, поскольку это слагаемое отвечает только за положение фигуры на плоскости.
  3. Rabinowitz S. A Polynomial Curve of Constant Width (англ.) // Missouri Journal of Mathematical Sciences. — 1997. — Vol. 9. — P. 23—27. Архивировано 17 июня 2009 года. Архивированная копия. Дата обращения: 1 марта 2018. Архивировано 17 июня 2009 года.
  4. «Сверление квадратных отверстий» / Математические этюды
  5. 1 2 3 «Круглый треугольник Рело» / Математические этюды
  6. Часть из них вышла из обращения в 2019 году.
  7. Helmut Groemer, Geometric Applications of Fourier Series and Spherical Harmonics
  8. Л. А. Люстерник . Геометрическая задача // УМН. — 1946. — Т. 1, № 3-4(13-14). — С. 194—195.

Литература[править | править код]