Кривая постоянной ширины

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Треугольник Рёло — кривая постоянной ширины. Стороны квадрата — опорные прямые: каждая сторона касается треугольника, но не пересекает его. Треугольник Рёло можно вращать, и при этом он всегда будет касаться каждой стороны квадрата; таким образом ширина треугольника (расстояние между двумя опорными прямыми) постоянна.

Кривая постоянной ширины  — плоская выпуклая кривая, длина ортогональной проекции которой на любую прямую равна .

Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно  — ширине кривой.

Связанные определения[править | править код]

  • Фигурой постоянной ширины называется фигура, граница которой является кривая постоянной ширины.

Примеры[править | править код]

Многоугольники Рёло
Гладкая кривая постоянной ширины, построенная на базе треугольника и составленная из фрагментов шести сопряжённых окружностей. Ширина w = a + b - c +2y, где a, b , c – стороны треугольника (a, b > c, y>0).

Фигурами постоянной ширины, в частности, являются круг и многоугольники Рёло (частный случай последних — треугольник Рёло). Многоугольники Рёло составлены из фрагментов окружностей и не являются гладкими кривыми. Из сопряжённых фрагментов окружностей можно построить и гладкую кривую постоянной ширины (рисунок справа), но дальнейшее увеличение гладкости кривой на этом пути невозможно

Функциональное представление[править | править код]

В отличие от приведенных выше простейших примеров, кривые постоянной ширины могут не совпадать с окружностью ни на каком конечном отрезке и быть везде сколь угодно гладкими. В общем виде фигура постоянной ширины c опорной функцией задаётся параметрическими уравнениями[1]

,

при условиях

  1. ,
  2. полученная кривая является выпуклой.

Согласно элементарной тригонометрии первому условию удовлетворяет ряд Фурье следующего вида:

[2]

Если коэффициенты ряда убывают достаточно быстро, то результирующая кривая будет выпуклой (без самопересечений).

В частности, опорная функция порождает кривую постоянной ширины, для которой найдено неявное представление в виде уравнения для полинома 8-й степени [3]

Эта кривая является аналитической функцией в окрестности любой точки либо от x, либо от y и ни в какой окрестности не совпадает с окружностью.

Свойства[править | править код]

  • Длина кривой постоянной ширины равна (теорема Барбье).
  • Центры вписанной и описанной окружностей в кривую постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине кривой.
  • Фигура постоянной ширины может вращаться в квадрате со стороной всё время касаясь каждой из сторон.
  • Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг — наибольшую.
  • Любую плоскую фигуру диаметра можно накрыть фигурой постоянной ширины .

Применения[править | править код]

  • Сверло, сделанное на основе треугольника Рёло, позволяет[4] сверлить почти квадратные отверстия (с неточностью примерно в 2 % от площади квадрата).
  • Британские монеты достоинством 20[5] и 50 пенни имеют форму фигуры постоянной ширины, построенной на семиугольнике.
  • Двигатель Ванкеля использует[5] в качестве поршня вращающийся внутри камеры треугольник Рёло, что позволяет сразу получать вращательное движение.
  • Грейферный механизм, отвечающий за «дискретную» протяжку ленты в кинопроекторе «Луч-2», использует вращающийся внутри подвижного квадрата треугольник Рёло[5].

Вариации и обобщения[править | править код]

Линзообразный Δ-двухугольник вращающихся внутри равностороннего треугольника
  • Фигуры постоянной ширины можно определить как выпуклые фигуры, способные вращаться внутри квадрата, одновременно касаясь всех его сторон. Можно также рассматривать фигуры, способные вращаться, касаясь всех сторон некоторого -угольника, например, правильного -угольника. Такие фигуры называются роторами[6].
    • Например, двуугольник, образованный пересечением двух одинаковых кругов с углом при вершине, равным , является ротором равностороннего треугольника. Сверлом такой формы в принципе можно было бы сверлить треугольные отверстия без сглаженных углов.
  • У фигур постоянной ширины существуют многомерные аналоги, смотри Тело постоянной ширины.

Примечания[править | править код]

  1. Heinrich W. Guggenheimer, Differential Geometry. Dover. New York: 1977.
  2. Коэффициент с номером k=1 можно обнулить, поскольку это слагаемое отвечает только за положение фигуры на плоскости.
  3. Rabinowitz, Stanley (1997). «A Polynomial Curve of Constant Width». Missouri Journal of Mathematical Sciences 9: 23–27.
  4. «Сверление квадратных отверстий» / Математические этюды
  5. 1 2 3 «Круглый треугольник Рело» / Математические этюды
  6. Helmut Groemer, Geometric Applications of Fourier Series and Spherical Harmonics

Литература[править | править код]